Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 2b = 3

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x² − 5 mit dem Startintervall [2, 3] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = x² − 5[a, b] = [2, 3]n = 4
c4 =
2.Leicht
x012345y11,41421,732122,23612,4495

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 1,25.

x = 1,25
y =
3.Mittel
xy012

Nähere ∫02 e−x² dx mit der Trapezregel mit n = 2 Streifen an. Gib T an.

f(x) = e−x²[a, b] = [0, 2]n = 2
T =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
5.Schwer
00,050,10,150,20,50,60,7ty(0, 0,5)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = e−ty, y(0) = 0,5, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,1
y2 =
6.Schwer
00,20,40,40,60,81ty(0, 0,5)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = e−ty, y(0) = 0,5, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,5
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c4 = 2,188
  2. 2. y = 1,494
  3. 3. T = 0,877
  4. 4. n = 22
  5. 5. y2 = 0,6877
  6. 6. y1 = 0,9138

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