Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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Name: ____________________   Datum: ____________

1.Leicht
xyx₀ = 4,5

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 20 mit dem Startwert x₀ = 4,5 an. Bestimme x1.

f(x) = x² − 20f′(x) = 2xx₀ = 4,5
x1 =
2.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ + 2x − 7 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x2.

f(x) = x³ + 2x − 7f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1
x2 =
3.Mittel
xy00,511,52

Nähere ∫02 √(1 + x³) dx mit der Trapezregel mit n = 4 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 4
T =
4.Mittel
xy00,33330,666711,3331,6672

Nähere ∫02 1/(1 + x³) dx mit der Simpson-Regel mit n = 6 Streifen an. Gib S an.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 6
S =
5.Schwer
00,20,40,60,511,5ty(0, 0,5)

Löse y′ = t + y, y(0) = 0,5 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,25 bis t = 0,75. Die exakte Lösung ist y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,75) − y3|.

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,25
|E| =
6.Schwer
00,20,411,21,4ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = e−ty, y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,5
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 4,472
  2. 2. x2 = 1,592
  3. 3. T = 3,283
  4. 4. S = 1,091
  5. 5. |E| = 0,2458
  6. 6. y1 = 1,371

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