Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 3b = 4

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x² − 10 mit dem Startintervall [3, 4] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = x² − 10[a, b] = [3, 4]n = 3
c3 =
2.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ − x − 3 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x1.

f(x) = x³ − x − 3f′(x) = 3x² − 1x₀ = 2
x1 =
3.Mittel
xy00,16670,33330,50,66670,83331

Nähere ∫01 1/√(1 + x⁴) dx mit der Trapezregel mit n = 6 Streifen an. Gib T an.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 6
T =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0001 garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001
n =
5.Schwer
00,511,500,51ty(0, 0)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,5 für y′ = e−ty, y(0) = 0, um y3 ≈ y(1,5) zu schätzen.

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,5
y3 =
6.Schwer
00,51123ty(0, 1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,25 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1, um y5 ≈ y(1,25) zu schätzen.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,25
y5 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c3 = 3,125
  2. 2. x1 = 1,727
  3. 3. T = 0,9254
  4. 4. n = 71
  5. 5. y3 = 1,095
  6. 6. y5 = 2,902

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