Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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Name: ____________________   Datum: ____________

1.Leicht
x22,22,42,62,83y1,82211,93482,05442,18152,31642,4596

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 2,12.

x = 2,12
y =
2.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ − x − 5 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x2.

f(x) = x³ − x − 5f′(x) = 3x² − 1x₀ = 2
x2 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
5.Schwer
00,20,40,60,511,5ty(0, 0,5)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,25 für y′ = t + y, y(0) = 0,5, um y3 ≈ y(0,75) zu schätzen.

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,25
y3 =
6.Schwer
00,511,5200,51ty(0, 1)

Löse y′ = −2ty, y(0) = 1 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,5 bis t = 2. Die exakte Lösung ist y = y₀e−t². Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(2) − y4|.

y′ = −2tyy(0) = 1h = 0,5
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. y = 1,89
  2. 2. x2 = 1,904
  3. 3. n = 23
  4. 4. n = 100
  5. 5. y3 = 1,18
  6. 6. |E| = 0,01832

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