Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 0

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startwert x₀ = 0 an. Bestimme x2.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 0
x2 =
2.Leicht
xyx₀ = 4

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = ln x + x − 4 mit dem Startwert x₀ = 4 an. Bestimme x1.

f(x) = ln x + x − 4f′(x) = 1/x + 1x₀ = 4
x1 =
3.Mittel
xy00,250,50,751

Nähere ∫01 √(1 + x³) dx mit der Trapezregel mit n = 4 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 4
T =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫13 1/x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [1, 3]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0,0005
n =
5.Schwer
00,050,10,150,2−1−0,8−0,6ty(0, −1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,2 für y′ = cos t − y, y(0) = −1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,2).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,2
y1 =
6.Schwer
00,20,411,5ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,5
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 0,7504
  2. 2. x1 = 2,891
  3. 3. T = 1,117
  4. 4. n = 52
  5. 5. y1 = −0,6387
  6. 6. y1 = 1,667

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