Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 0

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = e−x − x mit dem Startwert x₀ = 0 an. Bestimme x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0
x2 =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 3. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,0002 ist?

b − a = 3ε = 0,0002
n =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.Mittel
xy00,751,5

Nähere ∫01,5 1/√(1 + x⁴) dx mit der Simpson-Regel mit n = 2 Streifen an. Gib S an.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1,5]n = 2
S =
5.Schwer
00,10,20,322,5ty(0, 2)

Löse y′ = y − t², y(0) = 2 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,1 bis t = 0,3. Die exakte Lösung ist y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,3) − y3|.

y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,1
|E| =
6.Schwer
00,10,20,32,53ty(0, 3)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,1 für y′ = t − y, y(0) = 3, um y3 ≈ y(0,3) zu schätzen.

y′ = t − yy(0) = 3h = 0,1
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 0,5663
  2. 2. n = 14
  3. 3. n = 84
  4. 4. S = 1,223
  5. 5. |E| = 0,0331
  6. 6. y3 = 2,216

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