Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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Name: ____________________   Datum: ____________

1.Leicht
x00,511,522,5y11,16181,34991,56831,82212,117

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle den Wert x, bei dem y = 1,4482 ist.

y = 1,4482
x =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 4. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,01 ist?

b − a = 4ε = 0,01
n =
3.Mittel
xy12,54

Nähere ∫14 1/x dx mit der Trapezregel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2
|E| =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Schwer
00,050,10,150,200,10,2ty(0, 0)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,1
y2 =
6.Schwer
00,510,51ty(0, 1)

Löse y′ = −2ty, y(0) = 1 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,25 bis t = 1,25. Die exakte Lösung ist y = y₀e−t². Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(1,25) − y5|.

y′ = −2tyy(0) = 1h = 0,25
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x = 1,225
  2. 2. n = 9
  3. 3. |E| = 0,1512
  4. 4. n = 895
  5. 5. y2 = 0,203
  6. 6. |E| = 0,004533

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