Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 2. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,005 ist?

b − a = 2ε = 0,005
n =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 1. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,0001 ist?

b − a = 1ε = 0,0001
n =
3.Mittel
xy00,66671,3332

Nähere ∫02 √x·e−x dx mit der Trapezregel mit n = 3 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 2]n = 3
T =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Schwer
00,20,40,60,811,52ty(0, 1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,2 für y′ = y − t², y(0) = 1, um y4 ≈ y(0,8) zu schätzen.

y′ = y − t²y(0) = 1h = 0,2
y4 =
6.Schwer
012−1−0,50ty(0, −1)

Löse y′ = −2ty, y(0) = −1 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,5 bis t = 2,5. Die exakte Lösung ist y = y₀e−t². Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(2,5) − y5|.

y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,5
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 9
  2. 2. n = 14
  3. 3. T = 0,5462
  4. 4. n = 224
  5. 5. y4 = 1,952
  6. 6. |E| = 0,00193

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