Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 5 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x1.

f(x) = x² − 5f′(x) = 2xx₀ = 2
x1 =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 1. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,0002 ist?

b − a = 1ε = 0,0002
n =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
5.Schwer
00,050,10,150,211,11,21,3ty(0, 1)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = t² + y², y(0) = 1, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,1
y2 =
6.Schwer
00,20,400,020,04ty(0, 0)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = t² + y², y(0) = 0, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0,5
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 2,25
  2. 2. n = 13
  3. 3. n = 100
  4. 4. n = 9
  5. 5. y2 = 1,252
  6. 6. y1 = 0,04179

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