Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 3

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 5 mit dem Startwert x₀ = 3 an. Bestimme x2.

f(x) = x² − 5f′(x) = 2xx₀ = 3
x2 =
2.Leicht
xya = 0b = 1

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startintervall [0, 1] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = cos x − x[a, b] = [0, 1]n = 4
c4 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
4.Mittel
t (s)0102030405060v (m/s)4688141818

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 10 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 60 s zurückgelegte Strecke s mit der Trapezregel.

h = 10 sn = 6
s = m
5.Schwer
00,20,40,611,5ty(0, 1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,2 für y′ = y − t², y(0) = 1, um y3 ≈ y(0,6) zu schätzen.

y′ = y − t²y(0) = 1h = 0,2
y3 =
6.Schwer
00,20,411,52ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = t² + y², y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,5
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 2,238
  2. 2. c4 = 0,6875
  3. 3. n = 37
  4. 4. s = 650 m
  5. 5. y3 = 1,686
  6. 6. y1 = 2,055

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