Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 5 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x2.

f(x) = x² − 5f′(x) = 2xx₀ = 2
x2 =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 0,5. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,01 ist?

b − a = 0,5ε = 0,01
n =
3.Mittel
xy012

Nähere ∫02 √(1 + x³) dx mit der Trapezregel mit n = 2 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 2
T =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫12 1/x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [1, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0,001
n =
5.Schwer
00,050,10,150,2−1−0,8−0,6ty(0, −1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,2 für y′ = cos t − y, y(0) = −1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,2).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,2
y1 =
6.Schwer
00,20,4−1−0,5ty(0, −1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,5 für y′ = cos t − y, y(0) = −1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,5).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,5
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 2,236
  2. 2. n = 6
  3. 3. T = 3,414
  4. 4. n = 13
  5. 5. y1 = −0,6387
  6. 6. y1 = −0,2318

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