Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 1b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x³ + 2x − 10 mit dem Startintervall [1, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = x³ + 2x − 10[a, b] = [1, 2]n = 4
c4 =
2.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x1.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 1
x1 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,001
n =
4.Mittel
xy00,511,52

Nähere ∫02 √(1 + x³) dx mit der Trapezregel mit n = 4 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 4
T =
5.Schwer
00,10,20,30,50,550,60,65ty(0, 0,5)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = cos t − y, y(0) = 0,5, um y3 ≈ y(0,3) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,1
y3 =
6.Schwer
00,20,40,61,52ty(0, 2)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,25 für y′ = cos t − y, y(0) = 2, um y3 ≈ y(0,75) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,25
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c4 = 1,813
  2. 2. x1 = 0,7504
  3. 3. n = 90
  4. 4. T = 3,283
  5. 5. y3 = 0,625
  6. 6. y3 = 1,415

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