Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 1b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = ln x + x − 2 mit dem Startintervall [1, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = ln x + x − 2[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
2.Leicht
x00,20,40,60,81y0,69310,78850,87550,95551,02961,0986

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 0,9.

x = 0,9
y =
3.Mittel
xy00,751,5

Nähere ∫01,5 1/(1 + x³) dx mit der Trapezregel mit n = 2 Streifen an. Gib T an.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 2
T =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,001
n =
5.Schwer
00,10,20,30,40,60,8ty(0, 0,5)

Löse y′ = t + y, y(0) = 0,5 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,1 bis t = 0,4. Die exakte Lösung ist y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,4) − y4|.

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,1
|E| =
6.Schwer
00,050,111,051,1ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = e−ty, y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,1
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c3 = 1,625
  2. 2. y = 1,064
  3. 3. T = 0,9882
  4. 4. n = 90
  5. 5. |E| = 0,04159
  6. 6. y1 = 1,095

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