Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 2 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x1.

f(x) = x² − 2f′(x) = 2xx₀ = 2
x1 =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 4. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,0001 ist?

b − a = 4ε = 0,0001
n =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
4.Mittel
xy01,53

Nähere ∫03 √x·e−x dx mit der Simpson-Regel mit n = 2 Streifen an. Gib S an.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 3]n = 2
S =
5.Schwer
00,511,505ty(0, 1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,5 für y′ = t + y, y(0) = 1, um y3 ≈ y(1,5) zu schätzen.

y′ = t + yy(0) = 1h = 0,5
y3 =
6.Schwer
00,20,40,6−2−1,5−1ty(0, −1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,2 für y′ = y − t², y(0) = −1, um y3 ≈ y(0,6) zu schätzen.

y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,2
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 1,5
  2. 2. n = 16
  3. 3. n = 23
  4. 4. S = 0,5897
  5. 5. y3 = 4,25
  6. 6. y3 = −1,77

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