Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 1. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,01 ist?

b − a = 1ε = 0,01
n =
2.Leicht
xyx₀ = 4

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 13 mit dem Startwert x₀ = 4 an. Bestimme x2.

f(x) = x² − 13f′(x) = 2xx₀ = 4
x2 =
3.Mittel
xy00,20,40,60,81

Nähere ∫01 e−x² dx mit der Trapezregel mit n = 5 Streifen an. Gib T an.

f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1]n = 5
T =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫12 1/x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [1, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Schwer
00,51123ty(0, 3)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,25 für y′ = t − y, y(0) = 3, um y5 ≈ y(1,25) zu schätzen.

y′ = t − yy(0) = 3h = 0,25
y5 =
6.Schwer
00,20,40,60,20,40,6ty(0, 0,2)

Löse y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,2 bis t = 0,6. Die exakte Lösung ist y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,6) − y3|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,2
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 7
  2. 2. x2 = 3,606
  3. 3. T = 0,7444
  4. 4. n = 130
  5. 5. y5 = 1,199
  6. 6. |E| = 0,05336

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