Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 2. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,001 ist?

b − a = 2ε = 0,001
n =
2.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = ln x + x − 3 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x2.

f(x) = ln x + x − 3f′(x) = 1/x + 1x₀ = 2
x2 =
3.Mittel
t (s)0123456v (m/s)910987914

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 1 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 6 s zurückgelegte Strecke s mit der Simpson-Regel.

h = 1 sn = 6
s = m
4.Mittel
t (s)0510152025v (m/s)61217202123

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 5 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 25 s zurückgelegte Strecke s mit der Trapezregel.

h = 5 sn = 5
s = m
5.Schwer
00,5112ty(0, 0,5)

Löse y′ = t + y, y(0) = 0,5 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,25 bis t = 1. Die exakte Lösung ist y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(1) − y4|.

y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,25
|E| =
6.Schwer
00,050,10,150,200,10,2ty(0, 0)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,1
y2 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 11
  2. 2. x2 = 2,208
  3. 3. s = 54,33 m
  4. 4. s = 422,5 m
  5. 5. |E| = 0,4153
  6. 6. y2 = 0,203

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