Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 2b = 3

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x² − 7 mit dem Startintervall [2, 3] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = x² − 7[a, b] = [2, 3]n = 4
c4 =
2.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ + 2x − 10 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x1.

f(x) = x³ + 2x − 10f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1
x1 =
3.Mittel
xy00,51

Nähere ∫01 sin x dx mit der Simpson-Regel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |S − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
4.Mittel
t (s)01234v (m/s)447910

Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird alle 1 s gemessen (Tabelle). Schätze die von t = 0 bis t = 4 s zurückgelegte Strecke s mit der Trapezregel.

h = 1 sn = 4
s = m
5.Schwer
00,20,40,60,8234ty(0, 2)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,2 für y′ = y − t², y(0) = 2, um y4 ≈ y(0,8) zu schätzen.

y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,2
y4 =
6.Schwer
00,20,40,40,450,5ty(0, 0,5)

Löse y′ = −2ty, y(0) = 0,5 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,1 bis t = 0,5. Die exakte Lösung ist y = y₀e−t². Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,5) − y5|.

y′ = −2tyy(0) = 0,5h = 0,1
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c4 = 2,688
  2. 2. x1 = 2,4
  3. 3. |E| = 0,0001645
  4. 4. s = 27 m
  5. 5. y4 = 4,025
  6. 6. |E| = 0,0174

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