Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 1b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x² − 3 mit dem Startintervall [1, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = x² − 3[a, b] = [1, 2]n = 3
c3 =
2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 0,5. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,0002 ist?

b − a = 0,5ε = 0,0002
n =
3.Mittel
xy00,3750,751,1251,5

Nähere ∫01,5 1/(1 + x³) dx mit der Trapezregel mit n = 4 Streifen an. Gib T an.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
T =
4.Mittel
xy00,250,50,751

Nähere ∫01 x³ dx mit der Trapezregel, n = 4, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 4
|E| =
5.Schwer
00,510,30,40,50,6ty(0, 0,5)

Löse y′ = t − y, y(0) = 0,5 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,25 bis t = 1. Die exakte Lösung ist y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(1) − y4|.

y′ = t − yy(0) = 0,5h = 0,25
|E| =
6.Schwer
00,51246ty(0, 2)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,25 für y′ = t + y, y(0) = 2, um y4 ≈ y(1) zu schätzen.

y′ = t + yy(0) = 2h = 0,25
y4 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c3 = 1,625
  2. 2. n = 12
  3. 3. T = 1,005
  4. 4. |E| = 0,01563
  5. 5. |E| = 0,07721
  6. 6. y4 = 5,324

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