Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 1,5

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ + 2x − 5 mit dem Startwert x₀ = 1,5 an. Bestimme x2.

f(x) = x³ + 2x − 5f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1,5
x2 =
2.Leicht
xya = 0b = 1

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startintervall [0, 1] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = cos x − x[a, b] = [0, 1]n = 3
c3 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.Mittel
xy00,33330,66671

Nähere ∫01 sin(x²) dx mit der Trapezregel mit n = 3 Streifen an. Gib T an.

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 3
T =
5.Schwer
00,050,10,150,22,62,83ty(0, 3)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = cos t − y, y(0) = 3, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,1
y2 =
6.Schwer
00,050,10,150,21,61,82ty(0, 2)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = −y, y(0) = 2, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = −yy(0) = 2h = 0,1
y2 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 1,328
  2. 2. c3 = 0,625
  3. 3. n = 895
  4. 4. T = 0,3205
  5. 5. y2 = 2,637
  6. 6. y2 = 1,638

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