Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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Name: ____________________   Datum: ____________

1.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = ln x + x − 2 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x2.

f(x) = ln x + x − 2f′(x) = 1/x + 1x₀ = 1
x2 =
2.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x1.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 1
x1 =
3.Mittel
xy11,52

Nähere ∫12 1/x dx mit der Trapezregel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]n = 2
|E| =
4.Mittel
xy12,54

Nähere ∫14 1/x dx mit der Simpson-Regel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |S − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2
|E| =
5.Schwer
00,510,60,81ty(0, 1)

Löse y′ = t − y, y(0) = 1 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,25 bis t = 1. Die exakte Lösung ist y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(1) − y4|.

y′ = t − yy(0) = 1h = 0,25
|E| =
6.Schwer
00,511,511,52ty(0, 2)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,5 für y′ = cos t − y, y(0) = 2, um y3 ≈ y(1,5) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,5
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 1,557
  2. 2. x1 = 0,7504
  3. 3. |E| = 0,01519
  4. 4. |E| = 0,03871
  5. 5. |E| = 0,1029
  6. 6. y3 = 0,8645

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