Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 2 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x1.

f(x) = x² − 2f′(x) = 2xx₀ = 1
x1 =
2.Leicht
xya = 0b = 1

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = e−x − x mit dem Startintervall [0, 1] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = e−x − x[a, b] = [0, 1]n = 4
c4 =
3.Mittel
xy00,33330,66671

Nähere ∫01 √x·e−x dx mit der Trapezregel mit n = 3 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 1]n = 3
T =
4.Mittel
xy00,16670,33330,50,66670,83331

Nähere ∫01 √x·e−x dx mit der Trapezregel mit n = 6 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 1]n = 6
T =
5.Schwer
00,050,10,150,20,50,60,7ty(0, 0,5)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,1
y2 =
6.Schwer
00,51−1−0,5ty(0, −1)

Löse y′ = −2ty, y(0) = −1 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,2 bis t = 1. Die exakte Lösung ist y = y₀e−t². Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(1) − y5|.

y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,2
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 1,5
  2. 2. c4 = 0,5625
  3. 3. T = 0,3389
  4. 4. T = 0,3647
  5. 5. y2 = 0,7131
  6. 6. |E| = 0,0315

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