Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xya = 2b = 3

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x² − 5 mit dem Startintervall [2, 3] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = x² − 5[a, b] = [2, 3]n = 4
c4 =
2.Leicht
xyx₀ = 0

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = e−x − x mit dem Startwert x₀ = 0 an. Bestimme x2.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0
x2 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.Mittel
xy00,751,5

Nähere ∫01,5 1/(1 + x³) dx mit der Simpson-Regel mit n = 2 Streifen an. Gib S an.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 2
S =
5.Schwer
0121234ty(0, 1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,5 für y′ = 0,5y, y(0) = 1, um y5 ≈ y(2,5) zu schätzen.

y′ = 0,5yy(0) = 1h = 0,5
y5 =
6.Schwer
00,10,20,30,422,53ty(0, 2)

Löse y′ = y − t², y(0) = 2 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,1 bis t = 0,4. Die exakte Lösung ist y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,4) − y4|.

y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,1
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. c4 = 2,188
  2. 2. x2 = 0,5663
  3. 3. n = 259
  4. 4. S = 1,01
  5. 5. y5 = 3,052
  6. 6. |E| = 0,04641

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