Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 0,5. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,01 ist?

b − a = 0,5ε = 0,01
n =
2.Leicht
x00,20,40,60,81y00,09980,19870,29550,38940,4794

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 0,5.

x = 0,5
y =
3.Mittel
xy00,511,52

Nähere ∫02 sin x dx mit der Trapezregel, n = 4, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 4
|E| =
4.Mittel
xy00,51

Nähere ∫01 x³ dx mit der Trapezregel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]n = 2
|E| =
5.Schwer
00,20,40,634ty(0, 3)

Löse y′ = 0,5y, y(0) = 3 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,25 bis t = 0,75. Die exakte Lösung ist y = y₀e0,5t. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,75) − y3|.

y′ = 0,5yy(0) = 3h = 0,25
|E| =
6.Schwer
00,050,10,150,20,50,55ty(0, 0,5)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,2 für y′ = t² + y², y(0) = 0,5, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,2).

y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,2
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 6
  2. 2. y = 0,2471
  3. 3. |E| = 0,02963
  4. 4. |E| = 0,0625
  5. 5. |E| = 0,09349
  6. 6. y1 = 0,5584

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