Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ − x − 5 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x1.

f(x) = x³ − x − 5f′(x) = 3x² − 1x₀ = 1
x1 =
2.Leicht
x11,522,533,5y1,34991,56831,82212,1172,45962,8577

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 1,65.

x = 1,65
y =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0005
n =
4.Mittel
xy00,33330,66671

Nähere ∫01 1/√(1 + x⁴) dx mit der Trapezregel mit n = 3 Streifen an. Gib T an.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 3
T =
5.Schwer
00,5111,52ty(0, 1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,25 für y′ = y(2 − y), y(0) = 1, um y4 ≈ y(1) zu schätzen.

y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,25
y4 =
6.Schwer
00,20,40,611,52ty(0, 2)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,25 für y′ = −2ty, y(0) = 2, um y3 ≈ y(0,75) zu schätzen.

y′ = −2tyy(0) = 2h = 0,25
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 3,5
  2. 2. y = 1,644
  3. 3. n = 12
  4. 4. T = 0,9204
  5. 5. y4 = 1,812
  6. 6. y3 = 1,313

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