Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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Name: ____________________   Datum: ____________

1.Leicht
x00,20,40,60,81y0,69310,78850,87550,95551,02961,0986

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 0,25.

x = 0,25
y =
2.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = ln x + x − 2 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x2.

f(x) = ln x + x − 2f′(x) = 1/x + 1x₀ = 1
x2 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0001 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001
n =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Schwer
00,050,10,150,211,11,2ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,2 für y′ = e−ty, y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,2).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,2
y1 =
6.Schwer
00,050,10,150,2−1−0,8−0,6ty(0, −1)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = cos t − y, y(0) = −1, um y2 ≈ y(0,2) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,1
y2 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. y = 0,8102
  2. 2. x2 = 1,557
  3. 3. n = 27
  4. 4. n = 895
  5. 5. y1 = 1,179
  6. 6. y2 = −0,6395

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