Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 2. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,001 ist?

b − a = 2ε = 0,001
n =
2.Leicht
x11,21,41,61,82y1,34991,43331,5221,61611,7161,8221

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 1,12.

x = 1,12
y =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.Mittel
xy00,751,5

Nähere ∫01,5 e−x² dx mit der Trapezregel mit n = 2 Streifen an. Gib T an.

f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1,5]n = 2
T =
5.Schwer
00,050,10,50,510,520,53ty(0, 0,5)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = t² + y², y(0) = 0,5, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,1
y1 =
6.Schwer
00,20,40,622,53ty(0, 3)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,25 für y′ = cos t − y, y(0) = 3, um y3 ≈ y(0,75) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,25
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 11
  2. 2. y = 1,4
  3. 3. n = 151
  4. 4. T = 0,8419
  5. 5. y1 = 0,5267
  6. 6. y3 = 1,807

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