Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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Name: ____________________   Datum: ____________

1.Leicht
x22,533,544,5y1,38631,50411,60941,70471,79181,8718

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle y bei x = 2,875.

x = 2,875
y =
2.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ − x − 2 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x1.

f(x) = x³ − x − 2f′(x) = 3x² − 1x₀ = 2
x1 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0001 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001
n =
4.Mittel
xy00,250,50,7511,251,5

Nähere ∫01,5 e−x² dx mit der Simpson-Regel mit n = 6 Streifen an. Gib S an.

f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1,5]n = 6
S =
5.Schwer
00,20,411,21,4ty(0, 1)

Löse y′ = y(2 − y), y(0) = 1 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,1 bis t = 0,5. Die exakte Lösung ist y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,5) − y5|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,1
|E| =
6.Schwer
00,20,42,53ty(0, 3)

Löse y′ = −2ty, y(0) = 3 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,1 bis t = 0,5. Die exakte Lösung ist y = y₀e−t². Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,5) − y5|.

y′ = −2tyy(0) = 3h = 0,1
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. y = 1,583
  2. 2. x1 = 1,636
  3. 3. n = 27
  4. 4. S = 0,8562
  5. 5. |E| = 0,009292
  6. 6. |E| = 0,1044

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