Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

Kostenloses Arbeitsblatt Numerische Verfahren zum Ausdrucken: 6 Aufgaben von leicht bis Prüfungsniveau, mit Lösungsschlüssel. Drucke es aus oder speichere es als PDF.

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Name: ____________________ Datum: ____________

1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 3. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,0001 ist?

b − a = 3ε = 0,0001

n =

2.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 3. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,005 ist?

b − a = 3ε = 0,005

n =

3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫₀¹ eˣ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,001

n =

4.Mittel

Nähere ∫₀² eˣ dx mit der Trapezregel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

5.Schwer

Löse y′ = y − t², y(0) = 2 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,25 bis t = 0,75. Die exakte Lösung ist y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,75) − y₃|.

y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,25

|E| =

6.Schwer

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,25 für y′ = y − t², y(0) = 3, um y₃ ≈ y(0,75) zu schätzen.

y′ = y − t²y(0) = 3h = 0,25

y₃ =

Lösungsschlüssel

1. n = 15
2. n = 10
3. n = 16
4. |E| = 0,5238
5. |E| = 0,2383
6. y₃ = 6,135

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