Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 2

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = ln x + x − 2 mit dem Startwert x₀ = 2 an. Bestimme x2.

f(x) = ln x + x − 2f′(x) = 1/x + 1x₀ = 2
x2 =
2.Leicht
xya = 1b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = ln x + x − 2 mit dem Startintervall [1, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c4 von Schritt 4.

f(x) = ln x + x − 2[a, b] = [1, 2]n = 4
c4 =
3.Mittel
xy12,54

Nähere ∫14 1/x dx mit der Trapezregel, n = 2, an und vergleiche mit dem exakten Wert. Bestimme den absoluten Fehler |E| = |T − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2
|E| =
4.Mittel
xy012

Nähere ∫02 1/√(1 + x⁴) dx mit der Simpson-Regel mit n = 2 Streifen an. Gib S an.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 2
S =
5.Schwer
00,511,5202ty(0, 3)

Löse y′ = −2ty, y(0) = 3 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,5 bis t = 2. Die exakte Lösung ist y = y₀e−t². Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(2) − y4|.

y′ = −2tyy(0) = 3h = 0,5
|E| =
6.Schwer
00,20,40,60,980,991ty(0, 1)

Verwende das Euler-Verfahren mit h = 0,2 für y′ = cos t − y, y(0) = 1, um y3 ≈ y(0,6) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 1h = 0,2
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x2 = 1,557
  2. 2. c4 = 1,563
  3. 3. |E| = 0,1512
  4. 4. S = 1,357
  5. 5. |E| = 0,05495
  6. 6. y3 = 0,981

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