Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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Name: ____________________   Datum: ____________

1.Leicht
x123456y1,41421,732122,23612,44952,6458

Schätze mit linearer Interpolation in der Tabelle den Wert x, bei dem y = 2,0708 ist.

y = 2,0708
x =
2.Leicht
xyx₀ = 1,5

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x² − 2 mit dem Startwert x₀ = 1,5 an. Bestimme x2.

f(x) = x² − 2f′(x) = 2xx₀ = 1,5
x2 =
3.Mittel
xy00,66671,3332

Nähere ∫02 √(1 + x³) dx mit der Trapezregel mit n = 3 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 3
T =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0005 garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
5.Schwer
00,10,20,30,4−1−0,9−0,8ty(0, −1)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,2 für y′ = −0,5y, y(0) = −1, um y2 ≈ y(0,4) zu schätzen.

y′ = −0,5yy(0) = −1h = 0,2
y2 =
6.Schwer
00,050,10,150,200,10,2ty(0, 0)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,2 für y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,2).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0,2
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x = 3,3
  2. 2. x2 = 1,414
  3. 3. T = 3,316
  4. 4. n = 127
  5. 5. y2 = −0,819
  6. 6. y1 = 0,2027

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