Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 0,5

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = e−x − x mit dem Startwert x₀ = 0,5 an. Bestimme x1.

f(x) = e−x − xf′(x) = −e−x − 1x₀ = 0,5
x1 =
2.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = cos x − x mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x2.

f(x) = cos x − xf′(x) = −sin x − 1x₀ = 1
x2 =
3.Mittel
xy00,250,50,751

Nähere ∫01 1/(1 + x³) dx mit der Simpson-Regel mit n = 4 Streifen an. Gib S an.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 4
S =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫02 sin x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,0001 garantiert.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001
n =
5.Schwer
00,511,5200,20,40,6ty(0, 0,5)

Löse y′ = −2ty, y(0) = 0,5 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,5 bis t = 2. Die exakte Lösung ist y = y₀e−t². Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(2) − y4|.

y′ = −2tyy(0) = 0,5h = 0,5
|E| =
6.Schwer
00,20,40,600,5ty(0, 0)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,25 für y′ = e−ty, y(0) = 0, um y3 ≈ y(0,75) zu schätzen.

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,25
y3 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 0,5663
  2. 2. x2 = 0,7391
  3. 3. S = 0,8358
  4. 4. n = 82
  5. 5. |E| = 0,009158
  6. 6. y3 = 0,6343

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