Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 3. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,005 ist?

b − a = 3ε = 0,005
n =
2.Leicht
xya = 0b = 1

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = e−x − x mit dem Startintervall [0, 1] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = e−x − x[a, b] = [0, 1]n = 3
c3 =
3.Mittel
xy00,51

Nähere ∫01 √x·e−x dx mit der Trapezregel mit n = 2 Streifen an. Gib T an.

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 1]n = 2
T =
4.Mittel
xy00,51

Nähere ∫01 1/√(1 + x⁴) dx mit der Simpson-Regel mit n = 2 Streifen an. Gib S an.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 2
S =
5.Schwer
00,10,20,31,71,81,92ty(0, 2)

Verwende das Heun-Verfahren (verbessertes Euler-Verfahren) mit h = 0,1 für y′ = cos t − y, y(0) = 2, um y3 ≈ y(0,3) zu schätzen.

y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,1
y3 =
6.Schwer
00,51−3−2−1ty(0, −1)

Löse y′ = y − t², y(0) = −1 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,2 bis t = 1. Die exakte Lösung ist y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(1) − y5|.

y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,2
|E| =

Lösungsschlüssel

  1. 1. n = 10
  2. 2. c3 = 0,625
  3. 3. T = 0,3064
  4. 4. S = 0,9313
  5. 5. y3 = 1,737
  6. 6. |E| = 0,3922

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