Arbeitsblatt Numerische Verfahren mit Lösungen

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1.Leicht
xyx₀ = 1

Wende das Newton-Raphson-Verfahren auf f(x) = x³ + 2x − 7 mit dem Startwert x₀ = 1 an. Bestimme x1.

f(x) = x³ + 2x − 7f′(x) = 3x² + 2x₀ = 1
x1 =
2.Leicht
xya = 0b = 2

Wende das Bisektionsverfahren auf f(x) = x³ + 2x − 2 mit dem Startintervall [0, 2] an. Bestimme den Mittelpunkt c3 von Schritt 3.

f(x) = x³ + 2x − 2[a, b] = [0, 2]n = 3
c3 =
3.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫01 x³ dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [0, 1]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,001
n =
4.Mittel

Die Trapezregel wird für ∫12 1/x dx verwendet. Der Fehler beträgt höchstens (b − a)³·M/(12n²) mit M = max|f″| auf [1, 2]. Bestimme die kleinste Anzahl n von Streifen, die einen Fehler unter 0,001 garantiert.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 0,001
n =
5.Schwer
00,10,20,32,72,82,93ty(0, 3)

Löse y′ = −2ty, y(0) = 3 mit dem Euler-Verfahren und der Schrittweite h = 0,1 bis t = 0,3. Die exakte Lösung ist y = y₀e−t². Bestimme den globalen Fehler |E| = |y(0,3) − y3|.

y′ = −2tyy(0) = 3h = 0,1
|E| =
6.Schwer
00,050,111,051,1ty(0, 1)

Führe einen Schritt des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens (RK4) mit h = 0,1 für y′ = e−ty, y(0) = 1, aus. Bestimme y₁ ≈ y(0,1).

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,1
y1 =

Lösungsschlüssel

  1. 1. x1 = 1,8
  2. 2. c3 = 0,75
  3. 3. n = 23
  4. 4. n = 13
  5. 5. |E| = 0,08061
  6. 6. y1 = 1,095

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