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1Fórmulas y métodos
Integrales
Regla de la potencia
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas
∫ab (f − g) dx
Método
Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de ex, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).
Sucesiones y series
Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Cálculo multivariable
Derivadas parciales
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiente
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Derivada direccional
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Regla de la cadena
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Criterio de la segunda derivada
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordenadas polares
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Método
En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (fx, fy) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve fx = 0 y fy = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = fxx·fyy − fxy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.
Ecuaciones diferenciales
Crecimiento/decrecimiento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Periodo de semidesintegración
k = ln 2 / t½
Ley de enfriamiento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Factor integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Problemas de práctica
1.IntegralesMedia
Calcula I = ∫01 2x·(x² + 1)1 dx.
f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 1]
I =
2.IntegralesDifícil
Calcula el área A de la región encerrada entre y = 0,5x2 e y = 2x.
y = 0,5x2y = 2x
A =
3.Sucesiones y seriesMedia
Halla la suma S = Σk=1∞ 4/(k(k + 4)).
ak = 4/(k(k + 4))
S =
4.Sucesiones y seriesDifícil
f(x) = ln(1 + x) se aproxima por su polinomio de Maclaurin de grado 3 en x = 0,2. Usa la cota del error de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! con M = 3! = 6 para hallar el mayor error posible |R₃|.
f(x) = ln(1 + x)n = 3x = 0,2M = 6
|R₃| =
5.Cálculo multivariableMedia
z = xy³ − 2x² − 3xy con x = −2t − 1 e y = −t² − 1. Usa la regla de la cadena para hallar dz/dt en t = 1.
z = xy³ − 2x² − 3xyx = −2t − 1y = −t² − 1t = 1
dz/dt =
6.Cálculo multivariableDifícil
Halla los puntos críticos de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy, clasifícalos y da el valor fmin de f en su mínimo local.
f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =
7.Ecuaciones diferencialesMedia
Resuelve y″ + 8y′ + 16y = 0 con y(0) = 3 e y′(0) = 4. Halla y(1,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 4
y(1.5) =
8.Ecuaciones diferencialesDifícil
Un sistema obedece y″ + 3y′ + 6,25y = 31,25 para t ≥ 0, partiendo del reposo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Halla y(0,75); ángulos en radianes.
y″ + 3y′ + 6,25y = 31,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
3Disoluciones
1.Integrales
Respuesta: I = 1,5
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Sustitución
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u1 du
Integrar y evaluar
I = [u2/2]12 = (4 − 1)/2 = 1,5
Respuesta
I = 1,5
2.Integrales
Respuesta: A = 5,333
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Puntos de corte
0,5x2 = 2x → x = 0, x = 4
Integrar superior menos inferior
A = [x2 − 0,1667x3]04 = 5,333
Respuesta
A = 5,333
3.Sucesiones y series
Respuesta: S = 2,083
Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.
Fracciones parciales
4/(k(k + 4)) = (4/4)·(1/k − 1/(k + 4))
Cancelar
S = (4/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 2,083
Respuesta
S = 2,083
4.Sucesiones y series
Respuesta: |R₃| = 0,0004
Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
Cota de la derivada
M = 3! = 6
Cota de Lagrange
|R₃| ≤ 6·0,2⁴/4! = 0,0004
Respuesta
|R₃| = 0,0004
El error real es menor: |f(0,2) − P₃(0,2)| = 0,0003451.
5.Cálculo multivariable
Respuesta: dz/dt = 34
Gradiente: ∇f = (fx, fy) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es Duf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Punto y tasas de variación
x(1) = −3, y(1) = −2
dx/dt = −2, dy/dt = −2t = −2
Derivadas parciales
fx = y³ − 4x − 3y = 10
fy = 3xy² − 3x = −27
Regla de la cadena
dz/dt = 10·(−2) + (−27)·(−2) = 34
Respuesta
dz/dt = 34
6.Cálculo multivariable
Respuesta: fmin = −2
Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple fx = fy = 0. Criterio de la segunda derivada con D = fxxfyy − fxy²: D > 0 y fxx > 0 es un mínimo local, D > 0 y fxx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).
Puntos críticos
Resuelve fx = 0 y fy = 0 a la vez.
fx = 4x³ − 4y = 0
fy = 4y³ − 4x = 0
(0, 0), (1, 1), (−1, −1)
Criterio de la segunda derivada
(0, 0): fxx = 0, fyy = 0, fxy = −4, D = −16 → punto de silla
(1, 1): fxx = 12, fyy = 12, fxy = −4, D = 128 → mínimo local
(−1, −1): fxx = 12, fyy = 12, fxy = −4, D = 128 → mínimo local
Valor en el extremo
f(1, 1) = −2
Respuesta
fmin = −2
7.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(1.5) = 0,06693
Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = ert: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·er₁t + B·er₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·ert (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.
Raíz doble
(r + 4)² = 0 → r = −4
Constantes
A = y(0) = 3
y′(0) = B − 4A → B = 4 + 12 = 16
Evalúa
y(1,5) = (3 + 16·1,5)·e−6 = 0,06693
Respuesta
y(1,5) = 0,06693
8.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(0.75) = 3,671
Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = ert: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·er₁t + B·er₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·ert (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.