Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Inviertes €2 000 a un tipo nominal del 3 % anual con capitalización mensual. Calcula el valor FV de la inversión al cabo de 4 años.
Un préstamo de €10 000 se devuelve con cuotas mensuales iguales durante 7 años al 3 % anual con capitalización mensual. ¿Cuántos intereses I se pagan en total durante la vida del préstamo?
Una inversión de €30 000 genera estos flujos al final de los años 1 a 3: €7 000, €8 000, €14 000. El coste de capital es del 10 %. Calcula el valor actual neto NPV.
Un proyecto cuesta €10 000 y devuelve €6 500, €6 500, €6 000 al final de los años 1 a 3. Calcula su tasa interna de rentabilidad IRR en porcentaje.
Un bono con un valor nominal de €1 000 paga un cupón anual de 7% y vence dentro de 15 años. Su rentabilidad al vencimiento pasa del 5% al 5,5%. ¿Cuánto ΔP varía el precio del bono?
Un bono con un valor nominal de €1 000 paga un cupón anual del 4% en dos pagos semestrales y vence dentro de 11 años. Se vende a €1 143. Halla su rentabilidad al vencimiento YTM como tipo anual (el doble de la rentabilidad semestral), en porcentaje.
Una empresa tiene fondos propios por valor de €4 000 000 y deuda por valor de €3 000 000. Su coste de los fondos propios es del 10%, su coste de la deuda antes de impuestos es del 3% y el tipo impositivo es del 20%. Calcula el WACC.
Una empresa tiene 5 000 000 acciones a €43,50 cada una y 40 000 bonos que cotizan a €1 050 cada uno. El coste de la deuda antes de impuestos es del 4% y el tipo impositivo es del 20%. La beta de la acción es 0,9, el tipo libre de riesgo es del 1% y la rentabilidad del mercado es del 7%. Calcula el WACC.
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 22, 31, 14, 52, 41, 16.
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 500 y desviación típica 50. Calcula la puntuación z z de una nota de 450.
Una bolsa tiene 8 bolas rojas y 4 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
Se prueban 9 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,2, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,9780. Halla z con dos decimales.
Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. Halla el valor x por debajo del cual queda el 80 % de los datos (el percentil 80).
Un intervalo de confianza del 90 % para una media, basado en 100 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 5,8. ¿Cuál es el margen de error E₂ de un intervalo del 95 % basado en 200 observaciones?
Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 15 parcelas, rendimiento medio 93,5 kg, desviación típica 8 kg. Grupo de parcelas 2: 7 parcelas, media 92 kg, desviación típica 4,5 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 95 % para μ₁ − μ₂.
Una muestra de 100 estudiantes tiene una nota media de 123,2 y una desviación típica muestral de 15. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 120.
¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza del 95 % para una media tenga un margen de error de como mucho 2? La desviación típica es 15. Calcula el menor tamaño muestral n.
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (9, 14). Halla su residuo e = y − ŷ.
Respuesta: FV = 2255 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Respuesta: I = 1099 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Respuesta: NPV = −6506 €
Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.
El VAN es negativo, así que el proyecto rinde menos que la rentabilidad exigida.
Respuesta: IRR = 41,16 %
Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.
El VAN baja al subir el tipo, así que la TIR está entre un tipo con VAN positivo y otro con VAN negativo.
La interpolación lineal da una primera estimación; repetirla (o la función TIR de una calculadora) da el tipo exacto.
Respuesta: ΔP = −57,03 €
Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.
Respuesta: YTM = 2,505 %
Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.
Respuesta: WACC = 6,743 %
Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: re = rf + β·(rm − rf). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).
Respuesta: WACC = 5,882 %
Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: re = rf + β·(rm − rf). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).
Respuesta: s = 14,96
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: z = −1
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: P = 0,4242
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: P = 0,4362
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: z = 2,29
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Busca 0,9890 dentro de la tabla y lee z.
Respuesta: x = 183,9 cm
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Respuesta: E₂ = 4,887
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Respuesta: límite inferior = −5,311 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Respuesta: t = 2,133
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
|t| > 1,984, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
Respuesta: n = 217
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Respuesta: r = 0,9718
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Respuesta: e = −3,771
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
El punto está por debajo de la recta.
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