Fuerza hidrostática
- Presión a una profundidad
- p = ρgh
- Fuerza sobre una pared vertical
- F = ρg·hc·A
- Centro de presiones
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rectángulo
- Ic = bH³/12
Ingeniería hidráulica: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Continuidad y Bernoulli
- Continuidad
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Caudal
- Q = A·v
- Área del círculo
- A = πd²/4
Fricción en tuberías y pérdida de carga
- Número de Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Régimen de flujo
- laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
- Velocidad media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Pérdidas localizadas
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valores típicos de K
- entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
- Caída de presión
- Δp = ρ·g·hf
- Dos depósitos abiertos
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Salida libre
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Bombas y potencia de bombeo
- Potencia hidráulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potencia en el eje
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potencia eléctrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Altura de la bomba
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Pérdidas del sistema
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Flujo en canales abiertos (Manning)
- Ecuación de Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Caudal
- Q = A·V
- Radio hidráulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rectángulo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapecio (talud z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubería circular, llena o a media sección
- R = D/4
- Pendiente necesaria
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Problemas de práctica
1.Fuerza hidrostáticaMedia
Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Fuerza hidrostáticaDifícil
Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 3 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.
d = 3 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuidad y BernoulliMedia
Por un venturímetro horizontal con un diámetro de entrada de 150 mm y un diámetro de garganta de 100 mm circula agua. La presión en la entrada es 53 kPa mayor que en la garganta. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 53 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuidad y BernoulliDifícil
Por un venturímetro horizontal (entrada de 300 mm, garganta de 150 mm) circula agua. Un manómetro diferencial de mercurio en U conectado entre la entrada y la garganta indica una diferencia de nivel de 190 mm. El coeficiente de descarga es 0,99. Halla el caudal Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ para el agua, 13 600 kg/m³ para el mercurio y g = 9,81 m/s².
d1 = 300 mmd2 = 150 mmΔh = 190 mmCd = 0,99ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia
Agua (ρ = 1000 kg/m³) circula a 1,5 m/s por una tubería horizontal de 200 m de longitud y 150 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,03 y g = 9,81 m/s². Halla la caída de presión Δp en la tubería en kPa.
V = 1,5 m/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil
Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 300 m de longitud, 200 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,018. La superficie libre del depósito superior está 36 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 5) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.
Δz = 36 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Bombas y potencia de bombeoMedia
Una bomba impulsa 80 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 72 m. El rendimiento de la bomba es del 70 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 95 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica Pel que absorbe el motor, en kW.
Q = 80 L/sH = 72 mηpump = 70%ηmotor = 95%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Bombas y potencia de bombeoDifícil
Una bomba impulsa 100 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 12 m más alta. La tubería mide 300 m de longitud, tiene 250 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,015; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 82 %. Halla la potencia en el eje Pshaft en kW.
Q = 100 L/sΔz = 12 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 6η = 82%
Pshaft = kW
9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media
Un canal trapecial de hormigón sin acabado tiene una anchura de fondo de 5,5 m y taludes de 3:1 (horizontal:vertical). El agua circula en régimen uniforme con un calado de 2,4 m. n de Manning = 0,014 y la pendiente del fondo es S = 0,004. Halla el caudal Q en m³/s.
b = 5,5 my = 2,4 mz = 3n = 0,014S = 0,004
Q = m³/s
10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil
Un canal trapecial de tierra revestida de hierba con una anchura de fondo de 4 m y taludes de 3:1 (horizontal:vertical) debe transportar 13 m³/s en régimen uniforme con un calado de 1 m. n de Manning = 0,03. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).
Q = 13 m³/sb = 4 my = 1 mz = 3n = 0,03
S = m/m
3Disoluciones
1.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 77,25 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·4,5 = 77,25 kN
Respuesta
F = 77,25 kN
2.Fuerza hidrostática
Respuesta: F = 91,72 kN
Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·yc·A. Actúa en el centro de presiones, ycp = yc + Ic/(ycA), que siempre está por debajo del centroide.
Profundidad del centroide y área
yc = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Fuerza resultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·4,25·2,5 = 91,72 kN
Respuesta
F = 91,72 kN
3.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 90,27 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuidad
v1 = v2·(100/150)² = 0,4444·v2
Bernoulli entre la entrada y la garganta
La tubería es horizontal, así que solo cambian la presión y la velocidad.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·53000/(1000·(1 − 0,1975))) = 11,49 m/s
v1 = 5,108 m/s
Caudal
Q = A2·v2 = 0,007854·11,49 = 0,09027 m³/s = 90,27 L/s
Respuesta
Q = 90,27 L/s
4.Continuidad y Bernoulli
Respuesta: Q = 123,8 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Diferencia de presión a partir del manómetro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,19 = 23485 Pa
Velocidad en la garganta
La continuidad y Bernoulli juntas dan la velocidad ideal en la garganta.
β = 150/300 = 0,5
v2 = √(2·23485/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,078 m/s
Caudal real
Q = Cd·A2·v2 = 0,99·0,01767·7,078 = 0,1238 m³/s = 123,8 L/s
Respuesta
Q = 123,8 L/s
5.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Δp = 45 kPa
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Pérdida de carga
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,15)·1,5²/(2·9,81) = 4,587 m
Caída de presión
La tubería es horizontal y la velocidad no cambia, así que la ecuación de la energía se reduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·4,587 = 45000 Pa = 45 kPa
Respuesta
Δp = 45 kPa
6.Fricción en tuberías y pérdida de carga
Respuesta: Q = 143 L/s
Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas hm = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = hf + hm, incluida la pérdida de salida K = 1.
Coeficientes de pérdida
f·L/D = 0,018·300/0,2 = 27
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1
Ecuación de la energía
Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.
36 = (27 + 7,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·36/34,1) = 4,551 m/s
Caudal
Q = V·π·D²/4 = 4,551·0,03142 = 0,143 m³/s = 143 L/s
Respuesta
Q = 143 L/s
7.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pel = 84,97 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Potencia hidráulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·72 = 56,51 kW
Potencia en el eje
Pshaft = 56,51/0,7 = 80,72 kW
Potencia eléctrica
Pel = 80,72/0,95 = 84,97 kW
Respuesta
Pel = 84,97 kW
8.Bombas y potencia de bombeo
Respuesta: Pshaft = 20,43 kW
Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: Pshaft = Ph/ηpump, y el motor absorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.
Velocidad
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Pérdidas de carga
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 6)·0,2115 = 5,077 m
Altura de la bomba
H = Δz + hL = 12 + 5,077 = 17,08 m
Potencia en el eje
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·17,08/0,82 = 20,43 kW
Respuesta
Pshaft = 20,43 kW
9.Flujo en canales abiertos (Manning)
Respuesta: Q = 178,3 m³/s
Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R2/3·S1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.
Geometría
A = (b + z·y)·y = (5,5 + 3·2,4)·2,4 = 30,48 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·2,4·√(1 + 3²) = 20,68 m
R = A/P = 1,474 m
Velocidad
V = (1/0,014)·1,4742/3·0,0041/2 = 5,851 m/s
Caudal
Q = A·V = 30,48·5,851 = 178,3 m³/s
Respuesta
Q = 178,3 m³/s
10.Flujo en canales abiertos (Manning)
Respuesta: S = 0,005212 m/m
Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R2/3·S1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.
Geometría
A = (b + z·y)·y = (4 + 3·1)·1 = 7 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1·√(1 + 3²) = 10,32 m
R = A/P = 0,678 m
Despeja S de Manning
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·13/(7·0,7718) = 0,07219
S = 0,07219² = 0,005212
Respuesta
S = 0,005212
Eso supone un desnivel de 5,212 m por kilómetro.
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