Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 1,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de aceite, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 4 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por una tubería horizontal que se estrecha de 200 mm a 100 mm circulan 18 L/s de agua. La presión en la sección estrecha es 300 kPa. Despreciando las pérdidas, halla la presión p₁ en la sección ancha.

Q = 18 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 300 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

La tobera de una fuente apunta verticalmente hacia arriba. Justo debajo de la tobera, la tubería de alimentación tiene un diámetro de 50 mm y una presión manométrica de 80 kPa. El diámetro de salida de la tobera es 25 mm, y la diferencia de altura a través de la tobera es despreciable. Despreciando las pérdidas y la resistencia del aire, halla la altura H que sube el chorro por encima de la tobera. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 50 mmp₁ = 80 kPa (manométrica)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula a razón de 50 L/s por una tubería de 400 m de longitud y 300 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,015 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

Q = 50 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Una tubería de 200 m de longitud y 200 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,015) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 3 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 5). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

En un ensayo, una bomba impulsa 20 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 32 m mientras su eje absorbe 7,8 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.

Q = 20 L/sH = 32 mP_shaft = 7,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 22 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,022; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 6 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El depósito superior está cerrado y el aire sobre el agua está a una presión manométrica de 150 kPa. Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 40 L/sΔz = 22 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 6p_tank = 150 kPa

H = m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un canal trapecial de tierra revestida de hierba tiene una anchura de fondo de 2,5 m y taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical). El agua circula en régimen uniforme con un calado de 1,6 m. n de Manning = 0,03 y la pendiente del fondo es S = 0,0015. Halla el caudal Q en m³/s.

b = 2,5 my = 1,6 mz = 1,5n = 0,03S = 0,0015

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un colector de hormigón de 200 mm de diámetro interior (n de Manning = 0,013) debe alcanzar una velocidad de autolimpieza de 0,9 m/s cuando funciona justo lleno. Halla la pendiente mínima S (en m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 101,2 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·3,75 = 101,2 kN

Respuesta

F = 101,2 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 4,789 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,75·4,5 = 184,5 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,75 + 0,8438/(4,75·4,5) = 4,789 m

Respuesta

y_cp = 4,789 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₁ = 302,5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,018/0,03142 = 0,573 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,018/0,007854 = 2,292 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 300 + ½·1000·(2,292² − 0,573²)/1000 = 300 + 2,462 = 302,5 kPa

Respuesta

p₁ = 302,5 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: H = 8,699 m

Velocidad de salida

β = 25/50 = 0,5

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·80000/(1000·0,9375)) = 13,06 m/s

Altura del chorro

Bernoulli a lo largo del chorro: en lo más alto la velocidad es nula y la presión vuelve a ser la atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 13,06²/(2·9,81) = 8,699 m

Respuesta

H = 8,699 m

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 0,51 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Velocidad media

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,05/0,07069 = 0,7074 m/s

Altura de velocidad

V²/(2g) = 0,7074²/(2·9,81) = 0,0255 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,3)·0,7074²/(2·9,81) = 0,51 m

Respuesta

h_f = 0,51 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: H = 7,403 m

Velocidad

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,015·200/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Ecuación de la energía

El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.

H = (1 + 15 + 6,4)·0,3305 = 7,403 m

Respuesta

H = 7,403 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: η = 80,49 %

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·32 = 6,278 kW

Rendimiento

η = P_h/P_shaft = 6,278/7,8 = 80,49%

Respuesta

η = 80,49%

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 44,6 m

Velocidad

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 6)·0,2611 = 7,312 m

Altura de presión

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están prácticamente en reposo, así que no hay término de altura de velocidad.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 22 + 15,29 + 7,312 = 44,6 m

Respuesta

H = 44,6 m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 9,768 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·1,6)·1,6 = 7,84 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,6·√(1 + 1,5²) = 8,269 m

R = A/P = 0,9481 m

Velocidad

V = (1/0,03)·0,9481^2/3·0,0015^1/2 = 1,246 m/s

Caudal

Q = A·V = 7,84·1,246 = 9,768 m³/s

Respuesta

Q = 9,768 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,007432 m/m

Radio hidráulico

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Despeja S de Manning

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,1357)² = 0,007432

Respuesta

S = 0,007432

Eso supone un desnivel de 7,432 m por kilómetro.

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