Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 1 m de ancho está en la pared de un depósito de agua de mar, con su borde superior a 1 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidad y BernoulliMedia

El agua circula por una tubería horizontal que se estrecha de 100 mm a 40 mm. En el tramo ancho la presión es 220 kPa y la velocidad 0,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en el tramo estrecho.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 220 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

La tobera de una fuente apunta verticalmente hacia arriba. Justo debajo de la tobera, la tubería de alimentación tiene un diámetro de 100 mm y una presión manométrica de 110 kPa. El diámetro de salida de la tobera es 40 mm, y la diferencia de altura a través de la tobera es despreciable. Despreciando las pérdidas y la resistencia del aire, halla la altura H que sube el chorro por encima de la tobera. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 110 kPa (manométrica)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula a razón de 15 L/s por una tubería de 400 m de longitud y 150 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,018 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

Q = 15 L/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 150 m de longitud, 250 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,02. La superficie libre del depósito superior está 27 m por encima de la del inferior. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 4 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 2) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Halla el caudal Q en L/s.

Δz = 27 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba impulsa 40 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 54 m. El rendimiento de la bomba es del 85 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 88 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica P_el que absorbe el motor, en kW.

Q = 40 L/sH = 54 mη_pump = 85%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 11 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,02; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 5 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 82 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 5η = 82%

P_shaft = kW

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un canal trapecial de tierra revestida de hierba tiene una anchura de fondo de 2,5 m y taludes de 1,5:1 (horizontal:vertical). El agua circula en régimen uniforme con un calado de 2 m. n de Manning = 0,03 y la pendiente del fondo es S = 0,0005. Halla el caudal Q en m³/s.

b = 2,5 my = 2 mz = 1,5n = 0,03S = 0,0005

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un canal rectangular de hormigón sin acabado de 3 m de anchura debe transportar 9,1 m³/s en régimen uniforme con un calado de 1,6 m. n de Manning = 0,014. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).

Q = 9,1 m³/sb = 3 my = 1,6 mn = 0,014

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 104,8 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·2,25 = 104,8 kN

Respuesta

F = 104,8 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 40,22 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2·2 = 40,22 kN

Respuesta

F = 40,22 kN

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 215,2 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/40)² = 3,125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 3,125²)/1000 = −4,758 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 220 + (−4,758) = 215,2 kPa

Respuesta

p₂ = 215,2 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: H = 11,51 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidad de salida

β = 40/100 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·110000/(1000·0,9744)) = 15,03 m/s

Altura del chorro

Bernoulli a lo largo del chorro: en lo más alto la velocidad es nula y la presión vuelve a ser la atmosférica.

H = v₂²/(2g) = 15,03²/(2·9,81) = 11,51 m

Respuesta

H = 11,51 m

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 1,763 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Velocidad media

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,015/0,01767 = 0,8488 m/s

Altura de velocidad

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,15)·0,8488²/(2·9,81) = 1,763 m

Respuesta

h_f = 1,763 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Q = 276,5 L/s

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,02·150/0,25 = 12

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Ecuación de la energía

Las dos superficies están abiertas al aire y prácticamente en reposo, así que todo Δz se pierde en la tubería.

27 = (12 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·27/16,7) = 5,632 m/s

Caudal

Q = V·π·D²/4 = 5,632·0,04909 = 0,2765 m³/s = 276,5 L/s

Respuesta

Q = 276,5 L/s

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_el = 28,33 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·54 = 21,19 kW

Potencia en el eje

P_shaft = 21,19/0,85 = 24,93 kW

Potencia eléctrica

P_el = 24,93/0,88 = 28,33 kW

Respuesta

P_el = 28,33 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 12,68 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0,408 = 10,2 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 11 + 10,2 = 21,2 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·21,2/0,82 = 12,68 kW

Respuesta

P_shaft = 12,68 kW

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 8,909 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·2)·2 = 11 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2·√(1 + 1,5²) = 9,711 m

R = A/P = 1,133 m

Velocidad

V = (1/0,03)·1,133^2/3·0,0005^1/2 = 0,8099 m/s

Caudal

Q = A·V = 11·0,8099 = 8,909 m³/s

Respuesta

Q = 8,909 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,000991 m/m

Geometría

A = b·y = 3·1,6 = 4,8 m²

P = b + 2y = 3 + 2·1,6 = 6,2 m

R = A/P = 0,7742 m

Despeja S de Manning

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·9,1/(4,8·0,8431) = 0,03148

S = 0,03148² = 0,000991

Respuesta

S = 0,000991

Eso supone un desnivel de 0,991 m por kilómetro.

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