Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 2 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 4 m bajo la superficie. Halla la profundidad y_cp del centro de presiones bajo la superficie.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por un venturímetro horizontal con un diámetro de entrada de 150 mm y un diámetro de garganta de 75 mm circula agua. La presión en la entrada es 56 kPa mayor que en la garganta. Despreciando las pérdidas, halla el caudal Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 56 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 150 mm a 100 mm mientras asciende 4 m. En la sección 1 la presión es 120 kPa y la velocidad 1,75 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 120 kPav₁ = 1,75 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula a razón de 50 L/s por una tubería de 50 m de longitud y 250 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,02 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

Q = 50 L/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Una tubería de 100 m de longitud y 150 mm de diámetro interior (factor de fricción de Darcy f = 0,015) sale de un depósito abierto y descarga como chorro libre a la atmósfera. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno) y una válvula (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². ¿A qué altura H debe estar la superficie del depósito sobre la salida de la tubería para un caudal de 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

Una bomba impulsa 100 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 26 m. El rendimiento de la bomba es del 80 % y el motor eléctrico que la acciona tiene un rendimiento del 94 %. Usa g = 9,81 m/s². Halla la potencia eléctrica P_el que absorbe el motor, en kW.

Q = 100 L/sH = 26 mη_pump = 80%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 20 m más alta. La tubería mide 200 m de longitud, tiene 150 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,022; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 5 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². El rendimiento de la bomba es del 80 %. Halla la potencia en el eje P_shaft en kW.

Q = 50 L/sΔz = 20 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 5η = 80%

P_shaft = kW

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un colector de pluviales de hormigón de 300 mm de diámetro interior funciona a media sección. n de Manning = 0,013 y la pendiente es S = 0,001. Halla el caudal Q en m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,001

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un canal trapecial de fábrica de ladrillo con una anchura de fondo de 3 m y taludes de 2:1 (horizontal:vertical) debe transportar 46 m³/s en régimen uniforme con un calado de 2 m. n de Manning = 0,015. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).

Q = 46 m³/sb = 3 my = 2 mz = 2n = 0,015

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 239,1 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·7,5 = 239,1 kN

Respuesta

F = 239,1 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: y_cp = 5,349 m

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·5 = 257,5 kN

Centro de presiones

La presión aumenta con la profundidad, así que la resultante actúa por debajo del centroide.

I_c = b·H³/12 = 2·2,5³/12 = 2,604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 2,604/(5,25·5) = 5,349 m

Respuesta

y_cp = 5,349 m

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: Q = 48,29 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuidad

v₁ = v₂·(75/150)² = 0,25·v₂

Bernoulli entre la entrada y la garganta

La tubería es horizontal, así que solo cambian la presión y la velocidad.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·56000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,93 m/s

v₁ = 2,733 m/s

Caudal

Q = A₂·v₂ = 0,004418·10,93 = 0,04829 m³/s = 48,29 L/s

Respuesta

Q = 48,29 L/s

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 74,54 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(150/100)² = 3,938 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 3,938²)/1000 = −6,221 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 120 + (−6,221) − 39,24 = 74,54 kPa

Respuesta

p₂ = 74,54 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 0,2115 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Velocidad media

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

Altura de velocidad

V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,25)·1,019²/(2·9,81) = 0,2115 m

Respuesta

h_f = 0,2115 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: H = 12,99 m

Velocidad

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

V²/(2g) = 0,5876 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,015·100/0,15 = 10

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Ecuación de la energía

El chorro de salida conserva su altura de velocidad; no es una pérdida, pero hay que aportarla.

H = (1 + 10 + 11,1)·0,5876 = 12,99 m

Respuesta

H = 12,99 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_el = 33,92 kW

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·26 = 25,51 kW

Potencia en el eje

P_shaft = 25,51/0,8 = 31,88 kW

Potencia eléctrica

P_el = 31,88/0,94 = 33,92 kW

Respuesta

P_el = 33,92 kW

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: P_shaft = 20,85 kW

Velocidad

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (29,33 + 5)·0,408 = 14,01 m

Altura de la bomba

H = Δz + h_L = 20 + 14,01 = 34,01 m

Potencia en el eje

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·34,01/0,8 = 20,85 kW

Respuesta

P_shaft = 20,85 kW

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 0,01529 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = 0,03534 m², R = D/4 = 0,075 m

Velocidad

V = (1/0,013)·0,075^2/3·0,001^1/2 = 0,4326 m/s

Caudal

Q = A·V = 0,03534·0,4326 = 0,01529 m³/s

Respuesta

Q = 0,01529 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,001966 m/m

Geometría

A = (b + z·y)·y = (3 + 2·2)·2 = 14 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2·√(1 + 2²) = 11,94 m

R = A/P = 1,172 m

Despeja S de Manning

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·46/(14·1,112) = 0,04433

S = 0,04433² = 0,001966

Respuesta

S = 0,001966

Eso supone un desnivel de 1,966 m por kilómetro.

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