Ingeniería hidráulica: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Fuerza hidrostática

Presión a una profundidad: p = ρgh
Fuerza sobre una pared vertical: F = ρg·h_c·A
Centro de presiones: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rectángulo: I_c = bH³/12

Continuidad y Bernoulli

Continuidad: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Caudal: Q = A·v
Área del círculo: A = πd²/4

Fricción en tuberías y pérdida de carga

Número de Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Régimen de flujo: laminar por debajo de Re ≈ 2000, turbulento por encima de Re ≈ 4000
Velocidad media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Pérdidas localizadas: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valores típicos de K: entrada 0,5, salida 1,0, codo de 90° ≈ 0,3
Caída de presión: Δp = ρ·g·h_f
Dos depósitos abiertos: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Salida libre: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Bombas y potencia de bombeo

Potencia hidráulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potencia en el eje: P_shaft = P_h/η_pump
Potencia eléctrica: P_el = P_shaft/η_motor
Altura de la bomba: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Pérdidas del sistema: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Flujo en canales abiertos (Manning)

Ecuación de Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Caudal: Q = A·V
Radio hidráulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y
Trapecio (talud z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubería circular, llena o a media sección: R = D/4
Pendiente necesaria: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Problemas de práctica

1.Fuerza hidrostáticaMedia

Una compuerta rectangular vertical de 1,5 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 2,5 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Fuerza hidrostáticaDifícil

Una compuerta rectangular vertical de 3 m de ancho está en la pared de un depósito de agua, con su borde superior a 3 m bajo la superficie. Halla la fuerza hidrostática resultante F sobre la compuerta.

d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuidad y BernoulliMedia

Por una tubería horizontal que se estrecha de 80 mm a 40 mm circulan 15 L/s de agua. La presión en la sección estrecha es 240 kPa. Despreciando las pérdidas, halla la presión p₁ en la sección ancha.

Q = 15 L/sd₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₂ = 240 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuidad y BernoulliDifícil

El agua sube por una tubería que se estrecha de 100 mm a 50 mm mientras asciende 10 m. En la sección 1 la presión es 170 kPa y la velocidad 0,5 m/s. Sin pérdidas, halla la presión p₂ en la sección 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 170 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de cargaMedia

Agua circula con una velocidad media de 2,9 m/s por una tubería de 100 m de longitud y 75 mm de diámetro interior. Usa el factor de fricción de Darcy f = 0,028 y g = 9,81 m/s². Halla la pérdida de carga por fricción h_f.

V = 2,9 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Fricción en tuberías y pérdida de cargaDifícil

Dos depósitos abiertos están unidos por una tubería de 300 m de longitud, 150 mm de diámetro interior y factor de fricción de Darcy f = 0,015. Las pérdidas localizadas son una entrada de arista viva (K = 0,5), 2 codos (K = 0,3 cada uno), una válvula (K = 10) y la salida al depósito inferior (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². ¿Qué diferencia de nivel de agua Δz entre los depósitos da un caudal de 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Bombas y potencia de bombeoMedia

En un ensayo, una bomba impulsa 50 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) contra una altura de 32 m mientras su eje absorbe 21,8 kW. Usa g = 9,81 m/s². Halla el rendimiento de la bomba η en porcentaje.

Q = 50 L/sH = 32 mP_shaft = 21,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Bombas y potencia de bombeoDifícil

Una bomba impulsa 20 L/s de agua (ρ = 1000 kg/m³) desde un depósito inferior abierto hasta un depósito superior cuya superficie libre está 10 m más alta. La tubería mide 150 m de longitud, tiene 100 mm de diámetro interior y un factor de fricción de Darcy f = 0,018; los coeficientes de pérdidas localizadas suman ΣK = 8 (entrada y salida incluidas). Usa g = 9,81 m/s². Halla la altura H que debe añadir la bomba.

Q = 20 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)Media

Un canal trapecial de grava tiene una anchura de fondo de 2,5 m y taludes de 2:1 (horizontal:vertical). El agua circula en régimen uniforme con un calado de 1,8 m. n de Manning = 0,025 y la pendiente del fondo es S = 0,0015. Halla el caudal Q en m³/s.

b = 2,5 my = 1,8 mz = 2n = 0,025S = 0,0015

Q = m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)Difícil

Un canal rectangular de tierra limpia de 3,5 m de anchura debe transportar 17 m³/s en régimen uniforme con un calado de 1,8 m. n de Manning = 0,022. Halla la pendiente del fondo necesaria S (en m/m).

Q = 17 m³/sb = 3,5 my = 1,8 mn = 0,022

S = m/m

3Disoluciones

1.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 176,6 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·4,5 = 176,6 kN

Respuesta

F = 176,6 kN

2.Fuerza hidrostática

Respuesta: F = 165,5 kN

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana: F = ρ·g·y_c·A. Actúa en el centro de presiones, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), que siempre está por debajo del centroide.

Profundidad del centroide y área

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Fuerza resultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·4,5 = 165,5 kN

Respuesta

F = 165,5 kN

3.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₁ = 306,8 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocidades

v₁ = Q/A₁ = 0,015/0,005027 = 2,984 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,015/0,001257 = 11,94 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 240 + ½·1000·(11,94² − 2,984²)/1000 = 240 + 66,79 = 306,8 kPa

Respuesta

p₁ = 306,8 kPa

4.Continuidad y Bernoulli

Respuesta: p₂ = 70,03 kPa

Continuidad y Bernoulli: en un fluido incompresible el caudal es el mismo en todas las secciones, Q = A₁v₁ = A₂v₂. A lo largo de una línea de corriente sin pérdidas, p + ½ρv² + ρgz es constante, así que donde el fluido va más rápido o más alto su presión es menor.

Continuidad y Bernoulli

Trabaja en Pa y después divide entre 1000 para obtener kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/50)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 2²)/1000 = −1,875 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 170 + (−1,875) − 98,1 = 70,03 kPa

Respuesta

p₂ = 70,03 kPa

5.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: h_f = 16 m

Flujo en tuberías: el número de Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue el flujo laminar (Re por debajo de unos 2000) del turbulento (por encima de unos 4000). La fricción a lo largo de una tubería produce la pérdida de carga de Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Los accesorios, las válvulas, la entrada y la salida añaden pérdidas localizadas h_m = ΣK·V²/(2g). Entre las superficies libres de dos depósitos abiertos la ecuación de la energía da Δz = h_f + h_m, incluida la pérdida de salida K = 1.

Altura de velocidad

V²/(2g) = 2,9²/(2·9,81) = 0,4286 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,075)·2,9²/(2·9,81) = 16 m

Respuesta

h_f = 16 m

6.Fricción en tuberías y pérdida de carga

Respuesta: Δz = 10,99 m

Velocidad

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Coeficientes de pérdida

f·L/D = 0,015·300/0,15 = 30

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Pérdida de carga total

h_f = 30·0,2611 = 7,834 m

h_m = 12,1·0,2611 = 3,16 m

Δz = h_f + h_m = 10,99 m

Respuesta

Δz = 10,99 m

7.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: η = 72 %

Potencia de una bomba: la potencia que recibe el agua es la potencia hidráulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. El eje debe entregar más porque la bomba tiene pérdidas: P_shaft = P_h/η_pump, y el motor absorbe P_el = P_shaft/η_motor. La altura de la bomba H sale de la ecuación de la energía: altura geométrica + altura de presión + todas las pérdidas por fricción y localizadas.

Potencia hidráulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·32 = 15,7 kW

Rendimiento

η = P_h/P_shaft = 15,7/21,8 = 72%

Respuesta

η = 72%

8.Bombas y potencia de bombeo

Respuesta: H = 21,57 m

Velocidad

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Pérdidas de carga

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 8)·0,3305 = 11,57 m

Altura de la bomba

Las dos superficies están abiertas y prácticamente en reposo, así que los términos de presión y velocidad se anulan.

H = Δz + h_L = 10 + 11,57 = 21,57 m

Respuesta

H = 21,57 m

9.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: Q = 17,47 m³/s

Ecuación de Manning (SI): para flujo uniforme en un canal abierto V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 y Q = A·V, con n el coeficiente de rugosidad, S la pendiente del fondo (m/m) y R = A/P el radio hidráulico: área de la sección mojada dividida entre el perímetro mojado. En P solo cuenta el contorno en contacto con el agua, no la superficie libre. Rectángulo: A = b·y, P = b + 2y. Trapecio con taludes z:1 (horizontal:vertical): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Una tubería circular llena o a media sección tiene R = D/4.

Geometría

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·1,8)·1,8 = 10,98 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,8·√(1 + 2²) = 10,55 m

R = A/P = 1,041 m

Velocidad

V = (1/0,025)·1,041^2/3·0,0015^1/2 = 1,591 m/s

Caudal

Q = A·V = 10,98·1,591 = 17,47 m³/s

Respuesta

Q = 17,47 m³/s

10.Flujo en canales abiertos (Manning)

Respuesta: S = 0,004133 m/m

Geometría

A = b·y = 3,5·1,8 = 6,3 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·1,8 = 7,1 m

R = A/P = 0,8873 m

Despeja S de Manning

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·17/(6,3·0,9234) = 0,06429

S = 0,06429² = 0,004133

Respuesta

S = 0,004133

Eso supone un desnivel de 4,133 m por kilómetro.

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