Medida e instrumentación: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Puente de Wheatstone y galgas extensométricas

Tensiones de los divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Pérdidas
Vab = Va − Vb
Balance
R1/R2 = R3/R4
Puente de hilo
R/Rx = l/(100 − l)
Resistencia de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Factor de galga
ΔR/R = GF·ε
Salida del puente
cuarto Vs·GF·ε/4, medio Vs·GF·ε/2, completo Vs·GF·ε
Cambio pequeño, un brazo
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensión
σ = E·ε

Método

  1. Trata el puente como dos divisores de tensión sobre la misma alimentación.
  2. Para el equilibrio, iguala R₁/R₂ = R₃/R₄ y despeja la resistencia desconocida.
  3. Para un puente desequilibrado, halla Va y Vb con los divisores y resta; usa el equivalente de Thévenin cuando un medidor carga la salida.
  4. Para las galgas extensométricas, convierte la deformación en ΔR/R = GF·ε y usa Vs·GF·ε/4, /2 o ×1 para un cuarto, medio o puente completo.

Adquisición de datos y muestreo

Criterio de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frecuencia de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamaño del paso
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Error de cuantización (redondeo)
±½ LSB
Código del ADC con truncamiento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para una resolución r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide a fondo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Tasa de datos
canales × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baudios; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baudios/bits por trama
Divisor de la tasa de baudios
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anota los datos: frecuencia de muestreo, frecuencias de la señal, número de bits, rango de entrada, tasa de baudios.
  2. En las preguntas de muestreo, compara cada frecuencia con fs/2; una frecuencia mayor aparece en fa = |f − k·fs|, con el múltiplo de fs más cercano.
  3. En las preguntas de resolución, halla 1 LSB = VFSR/2ᴺ, o el menor N con 2ᴺ ≥ rango/resolución.
  4. En las tasas de datos y los enlaces UART, cuenta todo lo que se envía: canales, muestras por segundo, bits o bytes completos por muestra, y los bits de inicio, paridad y parada de cada trama.

Circuitos con amplificador operacional

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador no inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador sumador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie
Req = R1 + R2 + …
Resistencias en paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dos en paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ley de Ohm
V = I·R
Potencia
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
  2. Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
  4. Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Thévenin y Norton

Tensión de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistencia de Thévenin
Rth: todas las fuentes apagadas, vista desde a–b
Corriente de Norton
IN = Vth/Rth
Corriente en la carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferencia de potencia
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Quita la carga y marca los dos terminales a y b.
  2. Halla la tensión en circuito abierto entre a y b: es Vth.
  3. Anula todas las fuentes independientes y halla la resistencia vista desde a–b: es Rth.
  4. Vuelve a conectar la carga al circuito equivalente: Vth en serie con Rth.
  5. Para el equivalente de Norton, convierte: IN = Vth/Rth, con RN = Rth en paralelo.

2Problemas de práctica

1.Puente de Wheatstone y galgas extensométricasMedia
+−3 V470 Ω470 Ω + ΔR470 Ω470 Ωab+−Vab​ = ?

Un puente tiene cuatro brazos de 470 Ω y Vs = 3 V. El sensor R₂ aumenta ΔR = 47 Ω. Halla la salida exacta Vab en mV.

Vs = 3 VR = 470 ΩΔR = 47 Ω
Vab = mV
2.Puente de Wheatstone y galgas extensométricasDifícil
+−12 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω + ΔR350 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

Una célula de carga (un puente completo de galgas extensométricas) tiene una salida nominal de 1,5 mV/V a su carga nominal de 200 kg. Se excita con 12 V. Halla su salida Vo bajo una carga de 150 kg.

1,5 mV/VFrated = 200 kgVs = 12 VF = 150 kg
Vo = mV
3.Adquisición de datos y muestreoMedia
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​PTb​11·Tb​115200 Bd, 8E1

Una UART envía bytes a 115200 baudios en el formato 8E1: 8 bits de datos, un bit de paridad par y 1 bit(s) de parada, además del bit de inicio. Halla el mayor número de bytes de datos por segundo que puede transferir.

baud = 115200 Bd8E1
RB = B/s
4.Adquisición de datos y muestreoDifícil
124⋮4 ch∿01tc​ = 10 µstset​ = 5 µsfs​ = ?

Un multiplexor de 4 canales alimenta un solo ADC. Cada conversión tarda 10 µs, y tras cada cambio de canal la entrada necesita 5 µs para estabilizarse. Los canales se recorren por turnos sin pausa. Halla la frecuencia de muestreo fs de cada canal, en kHz.

n = 4tc = 10 µstset = 5 µs
fs = kHz
5.Circuitos con amplificador operacionalMedia
−+Vout​R2​ = 22 kΩV1​ = 0,5 VR1​ = 100 kΩV2​ = 2,8 VR3​ = 100 kΩR4​ = 22 kΩ

El amplificador diferencial usa un amplificador operacional ideal alimentado con ±15 V, con R3 = R1 y R4 = R2. Halla la tensión V− en la entrada inversora.

V1 = 0,5 VV2 = 2,8 VR1 = R3 = 100 kΩR2 = R4 = 22 kΩ
V− = V
6.Circuitos con amplificador operacionalDifícil
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = −1 VR1​ = 4,7 kΩV2​ = −1,8 VR2​ = 2 kΩIf​

El amplificador sumador usa un amplificador operacional ideal alimentado con ±15 V. Halla la corriente If por la resistencia de realimentación, en sentido hacia la salida.

V1 = −1 VV2 = −1,8 VR1 = 4,7 kΩR2 = 2 kΩRf = 1 kΩ
If = mA
7.Resistencias en serie y en paraleloMedia
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAR4​6 ΩB

Halla la resistencia equivalente Req que ve la fuente V1.

V1 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
8.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​20 ΩBR6​3 Ω

Halla la resistencia equivalente Req que ve la fuente V1.

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 ΩR5 = 8 ΩR6 = 3 Ω
Req = Ω
9.Thévenin y NortonMedia
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAab

Halla la corriente de Norton IN: la corriente que circula de a a b si se cortocircuitan los terminales.

V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 Ω
IN = A
10.Thévenin y NortonDifícil
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAIs​1 ABRL​8 ΩIL​

Se conecta una carga RL = 8 Ω entre a–b. Sustituye el resto del circuito por su equivalente de Thévenin y halla la corriente de carga IL.

V1 = 9 VIs = 1 AR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩRL = 8 Ω
IL = A

3Disoluciones

1.Puente de Wheatstone y galgas extensométricas

Respuesta: Vab = 71,43 mV

Puente de Wheatstone: dos divisores de tensión comparten una alimentación Vs. El divisor izquierdo R1–R2 da Va = Vs·R2/(R1 + R2) y el divisor derecho R3–R4 da Vb = Vs·R4/(R3 + R4); la salida es Vab = Va − Vb. El puente está equilibrado (Vab = 0, sin corriente en el medidor) cuando R1/R2 = R3/R4, es decir, R1·R4 = R2·R3. Visto desde la salida, el puente es una fuente de Thévenin con Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tensiones de los nudos

Va = 3·517/987 = 1,571 V
Vb = 1,5 V

Pérdidas

Vab = 71,43 mV

Respuesta

Vab = 71,43 mV

La estimación lineal Vs·ΔR/(4R) = 75 mV es un 5 % demasiado alta: un cuarto de puente no es del todo lineal.

2.Puente de Wheatstone y galgas extensométricas

Respuesta: Vo = 13,5 mV

Galgas extensométricas: una galga cambia su resistencia con la deformación: ΔR/R = GF·ε, donde el factor de galga GF es de alrededor de 2 en las galgas de lámina metálica. En un puente con todos los brazos iguales a R, una galga activa (cuarto de puente) da Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dos galgas activas con deformaciones opuestas en brazos adyacentes (medio puente) dan Vs·GF·ε/2, y cuatro (puente completo) dan Vs·GF·ε. La tensión mecánica se obtiene de la ley de Hooke, σ = E·ε. Las células de carga indican su sensibilidad en mV/V: la salida a plena carga por cada voltio de excitación.

Salida a fondo de escala

1,5·12 = 18 mV

Salida con esta carga

Vo = 18·150/200 = 13,5 mV

Respuesta

Vo = 13,5 mV
3.Adquisición de datos y muestreo

Respuesta: RB = 10473 B/s

UART: un enlace serie asíncrono envía cada byte como una trama: un bit de inicio (nivel bajo), los bits de datos, un bit de paridad opcional y uno o dos bits de parada (nivel alto). La tasa de baudios es el número de bits por segundo, así que un bit dura Tb = 1/baudios y una trama de n bits dura n/baudios. El formato habitual 8N1 tiene 10 bits por byte. El generador de baudios divide el reloj: baudios = fclk/(16·D) con un número entero D, así que la tasa de baudios real difiere ligeramente de la deseada; un error inferior a aproximadamente el 2 % suele ser aceptable.

Bits por trama

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Tasa de bytes

115200/11 = 10473 B/s

Respuesta

RB = 10473 B/s
4.Adquisición de datos y muestreo

Respuesta: fs = 16,67 kHz

Tasas de datos: cada canal entrega fs muestras por segundo de N bits, así que la tasa en bruto es canales × fs × N bit/s. En memoria una muestra ocupa bytes completos (una muestra de 12 bits se almacena en 2 bytes), así que la memoria de una grabación es canales × fs × bytes por muestra × tiempo. Un ADC multiplexado convierte los canales uno tras otro: cada conversión (con estabilización) tarda t, así que una ronda de n canales tarda n·t y cada canal se muestrea a 1/(n·t).

Tiempo por canal

10 + 5 = 15 µs

Tiempo por barrido

4·15 = 60 µs

Frecuencia de muestreo por canal

fs = 1/60 µs = 16,67 kHz

Respuesta

fs = 16,67 kHz
5.Circuitos con amplificador operacional

Respuesta: V− = 0,5049 V

Reglas del amplificador operacional ideal: con realimentación negativa, el amplificador ajusta su salida para que sus dos entradas estén a la misma tensión (V₋ = V₊), y no entra corriente por ninguna entrada. Aplicar la LCK en la entrada inversora con estos dos hechos da la salida.

Tensión en las entradas

R₃ y R₄ conducen la misma corriente, así que forman un divisor de tensión; la realimentación hace que V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 2,8·22/(100 + 22) = 0,5049 V
V₋ = V₊

Respuesta

V− = 0,5049 V
6.Circuitos con amplificador operacional

Respuesta: If = −1,113 mA

Reglas del amplificador operacional ideal: con realimentación negativa, el amplificador ajusta su salida para que sus dos entradas estén a la misma tensión (V₋ = V₊), y no entra corriente por ninguna entrada. Aplicar la LCK en la entrada inversora con estos dos hechos da la salida.

Corrientes de entrada

V₋ = 0, así que cada resistencia de entrada tiene toda su tensión de entrada.

I1 = V1/R1 = −1/4,7 = −0,2128 mA
I2 = V2/R2 = −1,8/2 = −0,9 mA
If = I1 + I2 = −1,113 mA

Respuesta

If = −1,113 mA
7.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: Req = 8,529 Ω

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAR4​6 ΩB

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R3 + R4 = 6 + 6 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω
Req = R1 + 3,529 = 5 + 3,529 = 8,529 Ω

Respuesta

Req = 8,529 Ω
8.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: Req = 10,94 Ω

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 8 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​20 ΩBR6​3 Ω

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R5 + R6 = 8 + 3 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 7,097 Ω
R3 + 7,097 = 11,1 Ω
R2 ∥ 11,1 = 2,94 Ω
Req = R1 + 2,94 = 8 + 2,94 = 10,94 Ω

Respuesta

Req = 10,94 Ω
9.Thévenin y Norton

Respuesta: IN = 2,308 A

Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 5 ΩCORTOR2​5 ΩAabRth​

Halla Rth con todas las fuentes apagadas

Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.

R1 ∥ R2 = 4·5/(4+5) = 2,222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,222 + 5 = 7,222 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAab+−Vth​

Halla Vth, la tensión en circuito abierto

Con a–b abiertos, no circula corriente por R₃, así que no hay caída en ella y V_b = V_A. R₁ y R₂ forman un divisor de tensión.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·5/(4+5) = 16,67 V
IN​2,308 ARth​7,222 Ωab

Equivalente de Norton

Una fuente de Norton es el mismo circuito visto como una fuente de corriente en paralelo con R_th. Su corriente es la corriente de cortocircuito en a–b.

IN = Vth/Rth = 16,67/7,222 = 2,308 A
10.Thévenin y Norton

Respuesta: IL = 0,7868 A

Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 ΩCORTOR2​6 ΩAABIERTOBabRth​

Halla Rth con todas las fuentes apagadas

Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.

R1 ∥ R2 = 8·6/(8+6) = 3,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,429 + 8 = 11,43 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

Halla Vth, la tensión en circuito abierto

Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,857 + 1·3,429 = 7,286 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 7,286 + 1·8 = 15,29 V
Rth​ = 11,43 Ω+−Vth​15,29 VRL​8 ΩIL​

Conecta la carga al equivalente de Thévenin

La fuente de Thévenin y R_th en serie se comportan exactamente como el circuito original en a–b, así que la carga ve un simple lazo en serie.

IL = Vth/(Rth + RL) = 15,29/(11,43 + 8) = 0,7868 A

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