Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Una varilla de acero (diámetro 20 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de aluminio (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 50 mm, E = 70 GPa). Ambos miden 400 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 300 kN. Halla el acortamiento δ.
P = 300 kNbarra: Ø20 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.
P = 50 kNtramo 1: Ø40 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 0,5 m, latón (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
Un eje macizo de latón de 1,5 m de longitud transmite un par de 500 N·m. El ángulo de torsión entre sus extremos no debe superar 0,5°. Halla el diámetro mínimo d que cumple este límite.
T = 500 N·mL = 1,5 mG = 39 GPaφallow = 0,5°
d = mm
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje macizo de aluminio de 50 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 3 m de A, actúa un par de 400 N·m, y en el extremo libre C, 2,5 m más allá, actúa un par de 400 N·m en el mismo sentido. Halla el valor del ángulo de torsión φC del extremo C, en grados.
d = 50 mmTB = 400 N·mTC = 400 N·mAB = 3 mBC = 2,5 mG = 26 GPa
φC = °
5.Cortante y momento flectorMedia
Halla el momento flector Mx en la sección x = 4,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 10 mw = 5 kN/m de 0 a 10 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida sobre parte de su luz. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
L = 6 mw = 20 kN/m de 0 a 5 m
Mmax = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 240 mm de ancho con dos alas verticales de 190 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 18 mm de espesor. Halla su momento de inercia Ix respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.
b = 240 mmh = 190 mmt = 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 5 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.
bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 220 mmM = 5 kN·m
σinferior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
En un punto σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 30° en sentido horario. Halla la tensión normal σy′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.
σx = 120 MPaσy = −10 MPaτxy = −60 MPaθ = -30°
σy′ = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 50 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = −10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σθ en un plano cuya normal está girada 50° en sentido antihorario respecto al eje x.
σx = 50 MPaσy = 100 MPaτxy = −10 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.
w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción RB en el apoyo B.
L = 5 mw = 15 kN/m
RB = kN
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 3 mE = 200 GPa (acero)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.
L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)d = 30 mm
σcr = MPa
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: δ = 0,2525 mm
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Áreas
Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
Rigidez axial combinada
ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·5890 = 4,752 × 10⁸ N
Acortamiento
δ = 300000·400/4,752 × 10⁸ = 0,2525 mm
Respuesta
δ = 0,2525 mm
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: σmax = 442,1 MPa
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 39,79 MPa
σ2 = 442,1 MPa
Tensión máxima
El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.
σmax = 442,1 MPa
Respuesta
σmax = 442,1 MPa
3.Torsión de ejes
Respuesta: d = 68,83 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar necesario
T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 1,5 m = 1500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·1500/(39000·0,008727) = 2,204 × 10⁶ mm⁴
Diámetro
d = (32J/π)1/4 = 68,83 mm
Respuesta
d = 68,83 mm
En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.
4.Torsión de ejes
Respuesta: φC = 12,21 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Pares internos
Se toma positivo el sentido de TC.
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC + TB = 400 + 400 = 800 N·m
Torsión de cada tramo
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 800000·3000/(26000·613592) = 0,1504 rad
φBC = 400000·2500/(26000·613592) = 0,06268 rad
Torsión del extremo C
φC = 0,1504 + 0,06268 = 0,2131 rad → |φC| = 12,21°
Respuesta
φC = 12,21°
5.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 61,88 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
Corta en x = 4,5 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 25·4,5 − 5·4,5·2,25 = 61,88 kN·m
Respuesta
Mx = 61,88 kN·m
6.Cortante y momento flector
Respuesta: Mmax = 85,07 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 20·5 = 100 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·5·2,5
RB = 250/6 = 41,67 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 41,67 = 58,33 kN
Cortante nulo
El cortante empieza en RA, se mantiene constante en los tramos descargados y disminuye con pendiente w dentro de la carga.
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 58,33/20 = 2,917 m
Momento máximo
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 58,33·2,917 − 20·2,917²/2 = 85,07 kN·m
Respuesta
Mmax = 85,07 kN·m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 38,35 × 10⁶ mm⁴
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en rectángulos
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
base: A1 = 240·18 = 4320 mm², y1 = 9 mm
dos alas: A2 = 2·18·172 = 6192 mm², y2 = 18 + 172/2 = 104 mm
Centroide
ȳ = (4320·9 + 6192·104)/10512 = 64,96 mm
Teorema de Steiner
base: 240·18³/12 + 4320·(9 − 64,96)² = 1,364 × 10⁷ mm⁴
dos alas: 2·18·172³/12 + 6192·(104 − 64,96)² = 2,47 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,364 × 10⁷ + 2,47 × 10⁷
Ix = 3,835 × 10⁷ mm⁴ = 38,35 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 38,35 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σinferior = 35,31 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 220 + 10/2 = 225 mm
alma: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·225 + 2200·110)/4600 = 170 mm
Teorema de Steiner
ala: 240·10³/12 + 2400·(225 − 170)² = 7,28 × 10⁶ mm⁴
alma: 10·220³/12 + 2200·(110 − 170)² = 1,679 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,28 × 10⁶ + 1,679 × 10⁷ = 2,407 × 10⁷ mm⁴
Tensión de flexión
El borde inferior está a ȳ del eje.
y = 170 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·170/2,407 × 10⁷ = 35,31 MPa
Respuesta
σinferior = 35,31 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: σy′ = −29,46 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación para la cara y′
σy′ = 55 − 65·0,5 − (−60)·(−0,866) = −29,46 MPa
Comprobación
La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.
σx′ = 139,5 MPa, σx′ + σy′ = 110 = σx + σy
Respuesta
σy′ = −29,46 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: σθ = 69,49 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación
σθ = 75 + −25·−0,1736 + −10·0,9848 = 69,49 MPa
Respuesta
σθ = 69,49 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δmax = 3,028 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 5 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²
Flecha
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 3,028 mm
Respuesta
δmax = 3,028 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: RB = 28,13 kN
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).
Quita el apoyo adicional
Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.
δload = wL⁴/(8EI)
Compatibilidad en el apoyo B
La reacción del apoyo RB por sí sola levanta el extremo libre RBL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28,13 kN
Respuesta
RB = 28,13 kN
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 374,3 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/1500² = 374314 N = 374,3 kN
Respuesta
Pcr = 374,3 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: σcr = 9,715 MPa
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Radio de giro y esbeltez
A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7,5 = 266,7
Tensión crítica
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266,7² = 9,715 MPa
Respuesta
σcr = 9,715 MPa
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