Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de aluminio, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) y un tramo de cobre (diámetro 60 mm, longitud 300 mm, E = 120 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 60 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: cobre, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 30 kW a 1450 rpm sin que la tensión cortante supere 80 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

10 kN @ 6 m10 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla el momento flector positivo máximo M_max entre los apoyos.

L = 8 mw = 8 kN/m de 0 a 8 mapoyos en x = 0 y x = 6 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 200 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 40 mm en su línea central vertical, con su centro a 97,5 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 200 mmh = 150 mmd = 40 mmcentro del agujero: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 40 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmM = 40 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 20 MPa y σᵧ = −10 MPa. ¿Hasta qué valor τ_xy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 45 MPa?

σ_x = 20 MPaσ_y = −10 MPaσ₁ = 45 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 120 MPa, σᵧ = −80 MPa y τₓᵧ = −50 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 45° en sentido horario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 0,5 m de A. Halla la flecha δ_B en el extremo libre B.

P = 18 kNa = 0,5 mL = 3 mE = 200 GPa (acero)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga puntual P en el centro del vano. EI es constante. Halla la reacción R_B en el apoyo B.

L = 5 mP = 25 kN en 2,5 m

R_B = kN

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 16370 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 90·1000/78,54 = 1146 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1146/70000 = 0,01637 = 16370 µε

Respuesta

ε = 16370 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 18,54 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·2827/300 = 1,131 × 10⁶ N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 60000·1,131 × 10⁶/1,295 × 10⁶ = 52417 N

Tensión

σ₂ = 52417/2827 = 18,54 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 18,54 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 1,169 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·251327) = 0,0204 rad

φ = 0,0204·180/π = 1,169°

Respuesta

φ = 1,169°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 23,26 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·80)) = 23,26 mm

Respuesta

d = 23,26 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 6,667 kN, R₂ = 13,33 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 13,33, M_C = 26,67, M_D = 40 kN·m, M_E = 33,33, M_F = 26,67, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 40 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 28,44 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·8·4

R_B = 256/6 = 42,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 42,67 = 21,33 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 21,33/8 = 2,667 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 21,33²/(2·8) = 28,44 kN·m

Respuesta

M_max = 28,44 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 55,46 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·75 − 1257·97,5)/(30000 − 1257) = 74,02 mm

Placa completa respecto a ȳ

200·150³/12 + 30000·0,9837² = 56,28 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·23,48² = 0,8187 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 55,46 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 55,46 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 77,74 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

alma: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·225 + 3080·110)/6080 = 166,7 mm

Teorema de Steiner

ala: 300·10³/12 + 3000·(225 − 166,7)² = 1,021 × 10⁷ mm⁴

alma: 14·220³/12 + 3080·(110 − 166,7)² = 2,234 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,021 × 10⁷ + 2,234 × 10⁷ = 3,255 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 230 − 166,7 = 63,26 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·63,26/3,255 × 10⁷ = 77,74 MPa

Respuesta

σ_superior = 77,74 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_xy = 37,08 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio necesario

C = (20 + (−10))/2 = 5 MPa

R = σ₁ − C = 45 − 5 = 40 MPa

Tensión cortante

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 15²) = 37,08 MPa

Respuesta

τ_xy = 37,08 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = 100 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −100·−1 + −50·0 = 100 MPa

Respuesta

τ_θ = 100 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_B = 1,386 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 18000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,163 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0004891 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,386 mm

Respuesta

δ_B = 1,386 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: R_B = 7,813 kN

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·25/16 = 7,813 kN

Respuesta

R_B = 7,813 kN

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 12,21 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1500² = 12209 N = 12,21 kN

Respuesta

P_cr = 12,21 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 6,218 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333,3² = 6,218 MPa

Respuesta

σ_cr = 6,218 MPa

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