Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Una varilla de acero (diámetro 25 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de cobre (diámetro exterior 80 mm, diámetro interior 60 mm, E = 120 GPa). Ambos miden 300 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 80 kN. Halla el acortamiento δ.
P = 80 kNbarra: Ø25 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.
P = 25 kNtramo 1: Ø35 mm, 1 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 1 m, latón (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.
T = 400 N·md = 25 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje macizo de latón de 30 mm de diámetro está empotrado en muros rígidos en sus dos extremos A y B. Se aplica un par de 100 N·m en C, a 1,2 m de A y a 1,5 m de B. Halla el par de reacción TA en el muro A.
d = 30 mmT0 = 100 N·ma = 1,2 mb = 1,5 m
TA = N·m
5.Cortante y momento flectorMedia
Halla el momento flector Mx en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 4 mw = 4 kN/m de 0 a 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
50 kN @ 0 m60 kN @ 12 m35 kN @ 4 m4 kN/m, 2–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.
bf = 180 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 5 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.
bf = 240 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 200 mmM = 5 kN·m
σinferior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 80 MPa y τₓᵧ = 30 MPa, con σz = 0. Halla la tensión cortante máxima absoluta τabs en el punto (considerando todos los planos en tres dimensiones).
σx = 130 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un eje macizo de 40 mm de diámetro soporta un momento flector de 100 N·m junto con un par de 2000 N·m. En la superficie superior, donde la tensión de flexión es de tracción y máxima, halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.
d = 40 mmM = 100 N·mT = 2000 N·m
τmax = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.
w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.
P = 2 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 15 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
P = 15 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: δ = 0,06629 mm
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Áreas
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
Rigidez axial combinada
ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·2199 = 3,621 × 10⁸ N
Acortamiento
δ = 80000·300/3,621 × 10⁸ = 0,06629 mm
Respuesta
δ = 0,06629 mm
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: σmax = 124,3 MPa
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 25,98 MPa
σ2 = 124,3 MPa
Tensión máxima
El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.
σmax = 124,3 MPa
Respuesta
σmax = 124,3 MPa
3.Torsión de ejes
Respuesta: φ = 15,32 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar de inercia
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(39000·38350) = 0,2674 rad
φ = 0,2674·180/π = 15,32°
Respuesta
φ = 15,32°
4.Torsión de ejes
Respuesta: TA = 55,56 N·m
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω. Cuando ambos extremos están empotrados, la estática por sí sola solo da TA + TB = T₀; la segunda ecuación es la compatibilidad (igual torsión de ambas partes en la sección cargada).
Equilibrio y compatibilidad
TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·1,5/2,7 = 55,56 N·m
TB = 100·1,2/2,7 = 44,44 N·m
Respuesta
TA = 55,56 N·m
5.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 8 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·4·2
RB = 32/4 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 8·2 − 4·2·1 = 8 kN·m
Respuesta
Mx = 8 kN·m
6.Cortante y momento flector
Respuesta: E (x = 8 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 62 kN, R2 = 107 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = −100, MC = −84, MD = −154, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0
Respuesta
Marca E: ME = −240 kN·m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 66,63 × 10⁶ mm⁴
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
alma: Aw = 14·260 = 3640 mm², yw = 260/2 = 130 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5400·275 + 3640·130)/9040 = 216,6 mm
Teorema de Steiner
ala: 180·30³/12 + 5400·(275 − 216,6)² = 1,881 × 10⁷ mm⁴
alma: 14·260³/12 + 3640·(130 − 216,6)² = 4,781 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,881 × 10⁷ + 4,781 × 10⁷ = 6,663 × 10⁷ mm⁴ = 66,63 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 66,63 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σinferior = 18,16 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
alma: Aw = 20·200 = 4000 mm², yw = 200/2 = 100 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7200·215 + 4000·100)/11200 = 173,9 mm
Teorema de Steiner
ala: 240·30³/12 + 7200·(215 − 173,9)² = 1,269 × 10⁷ mm⁴
alma: 20·200³/12 + 4000·(100 − 173,9)² = 3,52 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,269 × 10⁷ + 3,52 × 10⁷ = 4,788 × 10⁷ mm⁴
Tensión de flexión
El borde inferior está a ȳ del eje.
y = 173,9 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·173,9/4,788 × 10⁷ = 18,16 MPa
Respuesta
σinferior = 18,16 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τabs = 72,03 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. En tres dimensiones la tensión cortante máxima absoluta es (σmax − σmin)/2 entre las tres tensiones principales; en tensión plana la tercera es nula.
Tensiones principales en el plano
C = 105 MPa, R = √(25² + 30²) = 39,05 MPa
σ1 = 144,1 MPa, σ2 = 65,95 MPa, σz = 0
El mayor de los tres círculos
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(78,1, 144,1, 65,95)/2 = 72,03 MPa
Respuesta
τabs = 72,03 MPa
Aquí manda el círculo fuera del plano: el máximo absoluto es mayor que el máximo en el plano R.
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τmax = 159,4 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Tensiones en la superficie
σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·40³) = 15,92 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159,2 MPa
Círculo de Mohr
C = σ/2 = 7,958 MPa
R = √(7,958² + 159,2²) = 159,4 MPa
Respuesta
τmax = 159,4 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δmax = 5,287 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 20 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²
Flecha
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 5,287 mm
Respuesta
δmax = 5,287 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: δmax = 5,681 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 2000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²
Cada carga por separado
δP = PL³/(48EI) = 2000·4000³/(48·3,99 × 10¹²) = 0,6683 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 5,013 mm
Súmalas
δmax = 0,6683 + 5,013 = 5,681 mm
Respuesta
δmax = 5,681 mm
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 7,52 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1750² = 7520 N = 7,52 kN
Respuesta
Pcr = 7,52 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: d = 34,78 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Carga crítica necesaria
Pcr = n·P = 3·15000 = 45000 N
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
Despeja el diámetro
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 34,78 mm
Respuesta
d = 34,78 mm
Comprobación: la esbeltez KL/r es 120,8, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
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