Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevos Volver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 20 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de aluminio (diámetro 30 mm, longitud 300 mm, E = 70 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,25 mm en total.

tramo 1: acero, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 55 kNtramo 1: Ø35 mm, 2 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de latón de 1,5 m de longitud transmite un par de 400 N·m. El ángulo de torsión entre sus extremos no debe superar 3°. Halla el diámetro mínimo d que cumple este límite.

T = 400 N·mL = 1,5 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 10 kW a 1500 rpm sin que la tensión cortante supere 60 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el esfuerzo cortante V_x en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mw = 12 kN/m de 0 a 10 mx = 3,5 m

V_x = kN

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

30 kN @ 0 m15 kN @ 12 m25 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 120 mm × 300 mm tiene un agujero circular de diámetro 50 mm en su línea central vertical, con su centro a 180 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 300 mmd = 50 mmcentro del agujero: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 60 MPa a tracción y 120 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector negativo M_allow que puede soportar la viga (da su valor absoluto).

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 50 MPa y σᵧ = 0 MPa. ¿Hasta qué valor τ_xy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 105 MPa?

σ_x = 50 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 105 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 400 mm y un espesor de pared de 12 mm, contiene gas a una presión manométrica de 1,2 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 35° del eje del cilindro. Halla el valor de la tensión cortante |τ_n| que actúa a lo largo de la costura de soldadura.

D = 400 mmt = 12 mmp = 1,2 MPaα = 35°

|τ_n| = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 4 m del apoyo A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 28 kNa = 4 mL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 23 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 60 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 60 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 16,01 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·706,9) = 6,063 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,25/1,561 × 10⁻⁵ = 16013 N = 16,01 kN

Respuesta

P = 16,01 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 486,3 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 57,17 MPa

σ₂ = 486,3 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 486,3 MPa

Respuesta

σ_max = 486,3 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: d = 41,59 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar necesario

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·1500/(39000·0,05236) = 293825 mm⁴

Diámetro

d = (32J/π)^1/4 = 41,59 mm

Respuesta

d = 41,59 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 17,55 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·60)) = 17,55 mm

Respuesta

d = 17,55 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: V_x = 18 kN

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

V = R_A − (todas las cargas hacia abajo a la izquierda del corte)

V_x = 60 − 12·3,5 = 18 kN

Respuesta

V_x = 18 kN

6.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 40 kN, R₂ = 30 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −60 kN·m, M_C = −40, M_D = −20, M_E = 0, M_F = −30, M_G = 0

Respuesta

Marca B: M_B = −60 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 267,8 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·150 − 1963·180)/(36000 − 1963) = 148,3 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·300³/12 + 36000·1,731² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·50⁴/64 + 1963·31,73² = 2,284 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 267,8 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 267,8 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 48,65 kN·m

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (3000·312,5 + 6000·150)/9000 = 204,2 mm

borde superior: c = 325 − 204,2 = 120,8 mm

Momento de inercia

I = 120·25³/12 + 3000·108,3² + 20·300³/12 + 6000·54,17² = 9,797 × 10⁷ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento negativo: la parte superior está traccionada y la inferior comprimida.

borde superior: M = 60·9,797 × 10⁷/120,8 = 48,65 kN·m

borde inferior: M = 120·9,797 × 10⁷/204,2 = 57,58 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 48,65 kN·m (borde superior)

Respuesta

M_allow = 48,65 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_xy = 75,99 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio necesario

C = (50 + 0)/2 = 25 MPa

R = σ₁ − C = 105 − 25 = 80 MPa

Tensión cortante

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 25²) = 75,99 MPa

Respuesta

τ_xy = 75,99 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: |τ_n| = 4,698 MPa

Tensiones en la pared

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1,2·200/12 = 20 MPa

σ_a = pr/(2t) = 10 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σ_a) e y en dirección circunferencial (σ_h). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

|τ_n| = (20 − 10)·sin 35°·cos 35° = 4,698 MPa

Respuesta

|τ_n| = 4,698 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 58,56 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 28000 N, a = 4000 mm, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 28000·4000²·2000²/(3·1,7 × 10¹²·6000) = 58,56 mm

Respuesta

δ_P = 58,56 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 7,202 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 23000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 23000·4000³/(48·1,12 × 10¹³) = 2,738 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 4,464 mm

Súmalas

δ_max = 2,738 + 4,464 = 7,202 mm

Respuesta

δ_max = 7,202 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 62,18 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/1000² = 62179 N = 62,18 kN

Respuesta

P_cr = 62,18 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 39,47 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 39,47 mm

Respuesta

d = 39,47 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 141,9, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials