Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de latón (diámetro 60 mm, longitud 500 mm, E = 100 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,2 mm en total.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 120 MPa) está dentro de un tubo de latón (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 70 mm, E = 100 GPa, tensión admisible 100 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 20 mm de diámetro se tuerce con un par de 100 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 300 mm giran 2,81° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.

T = 100 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 2,81°

G = GPa

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 100 kW a 500 rpm sin que la tensión cortante supere 75 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 100 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mw = 6 kN/m de 0 a 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

30 kN @ 0 m45 kN @ 6 m35 kN @ 3 m8 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 110 mm de ancho y 14 mm de espesor, un canto total de 500 mm y un alma de 12 mm de espesor. Halla su módulo resistente elástico S_x para flexión respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 110 mmH = 500 mmt_f = 14 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 120 mm × 240 mm tiene un recorte rectangular de 40 mm de ancho y 20 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 144 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 240 mmrecorte: 40 × 20 mmcentro del agujero: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 140 MPa, σᵧ = −20 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 70 MPa, σᵧ = 60 MPa y τₓᵧ = 60 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 45° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = 70 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madera estructural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acero)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acero)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 67,52 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,2/2,962 × 10⁻⁶ = 67521 N = 67,52 kN

Respuesta

P = 67,52 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 325,2 kN

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·4006 = 5,419 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,0006, 0,001) = 0,0006 (acero)

Mayor carga

P_max = 0,0006·5,419 × 10⁸ = 325155 N = 325,2 kN

Respuesta

P_max = 325,2 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: G = 38,94 GPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar y ángulo

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2,81·π/180 = 0,04904 rad

Módulo de elasticidad transversal

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·300/(15708·0,04904) = 38942 MPa

G = 38,94 GPa

Respuesta

G = 38,94 GPa

Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 50,62 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·75)) = 50,62 mm

Respuesta

d = 50,62 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 11,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Corta en x = 1,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 12·1,5 − 6·1,5·0,75 = 11,25 kN·m

Respuesta

M_x = 11,25 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 33,67 kN, R₂ = 100,3 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −30,33, M_D = −38,67, M_E = −90 kN·m, M_F = −45, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = −90 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: S_x = 1148 × 10³ mm³

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 500 − 2·14 = 472 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·500³ − 98·472³)/12

I_x = 2,871 × 10⁸ mm⁴

Módulo resistente

c = H/2 = 250 mm

S_x = I/c = 2,871 × 10⁸/250

S_x = 1,148 × 10⁶ mm³ = 1148 × 10³ mm³

Respuesta

S_x = 1148 × 10³ mm³

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 137,7 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (28800·120 − 800·144)/(28800 − 800) = 119,3 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·240³/12 + 28800·0,6857² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

40·20³/12 + 800·24,69² = 0,5142 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 137,7 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 137,7 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = −18,43 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 140 − −20) = −36,87°

Ángulo en el elemento

θ_p = −18,43°

Respuesta

θ_p = −18,43°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 125 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = 65 + 5·0 + 60·1 = 125 MPa

Respuesta

σ_θ = 125 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 62,89 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 62,89 mm

Respuesta

δ = 62,89 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 5,753 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·1500⁴/(384·11000·4,167) = 5,753 × 10⁶ mm⁴

I_req = 5,753 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 5,753 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 35,09 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1500² = 35092 N = 35,09 kN

Respuesta

P_cr = 35,09 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 69,94 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/6,25 = 168

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69,94 MPa

Respuesta

σ_cr = 69,94 MPa

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