Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de aluminio bajo la carga axial.

P = 105 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 60 kNtramo 1: Ø40 mm, 0,5 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 12 mm de diámetro se tuerce con un par de 20 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 250 mm giran 1,76° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.

T = 20 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 1,76°

G = GPa

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de latón de 30 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 0,8 m de A, actúa un par de 1500 N·m, y en el extremo libre C, 1 m más allá, actúa un par de 1000 N·m en sentido contrario. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

d = 30 mmT_B = 1500 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0,8 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el esfuerzo cortante V_x en la sección x = 9,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mw = 10 kN/m de 0 a 10 mx = 9,5 m

V_x = kN

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla la distancia x_c desde A hasta el punto de inflexión entre los apoyos (donde el momento flector cambia de signo).

L = 9,5 mw = 6 kN/m de 0 a 9,5 mapoyos en x = 0 y x = 8 m

x_c = m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 100 mm × 200 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 130 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 200 mm × 240 mm tiene un recorte rectangular de 50 mm de ancho y 40 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 96 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 200 mmh = 240 mmrecorte: 50 × 40 mmcentro del agujero: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa y τₓᵧ = −60 MPa, con σ_z = 0. Halla la tensión cortante máxima absoluta τ_abs en el punto (considerando todos los planos en tres dimensiones).

σ_x = 90 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −50 MPa y τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 420 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de Tresca (tensión cortante máxima).

σ_x = −30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 0,5 m de A. Halla la flecha δ_B en el extremo libre B.

P = 22 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Debe soportar 50 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 50 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 3,73 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 105·1000/201,1 = 522,2 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 522,2/70000 = 0,00746 = 7460 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,00746·500 mm = 3,73 mm

Respuesta

δ = 3,73 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 298,4 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 298,4 MPa

Respuesta

σ_max = 298,4 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: G = 79,96 GPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar y ángulo

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 1,76·π/180 = 0,03072 rad

Módulo de elasticidad transversal

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·250/(2036·0,03072) = 79957 MPa

G = 79,96 GPa

Respuesta

G = 79,96 GPa

Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 188,6 MPa

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 1500 = −500 N·m

Tensión cortante máxima

El tramo con el mayor par interno tiene la mayor tensión (mismo diámetro).

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·30³) = 188,6 MPa

Respuesta

τ_max = 188,6 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: V_x = −45 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Corta en x = 9,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

V = R_A − (todas las cargas hacia abajo a la izquierda del corte)

V_x = 50 − 10·9,5 = −45 kN

Respuesta

V_x = −45 kN

6.Cortante y momento flector

Respuesta: x_c = 7,719 m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·9,5 = 57 kN, aplicada en x̄ = 4,75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·9,5·4,75

R_B = 270,8/8 = 33,84 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 33,84 = 23,16 kN

Momento nulo

Entre los apoyos M(x) = R_A·x − w·x²/2. Aparte de x = 0, se anula en x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·23,16/6 = 7,719 m

Respuesta

x_c = 7,719 m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 65,97 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (20000·100 − 706,9·130)/(20000 − 706,9) = 98,9 mm

Placa completa respecto a ȳ

100·200³/12 + 20000·1,099² = 66,69 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·31,1² = 0,7234 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 65,97 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 65,97 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 228,9 × 10⁶ mm⁴

Centroide

ȳ = (48000·120 − 2000·96)/(48000 − 2000) = 121 mm

Placa completa respecto a ȳ

200·240³/12 + 48000·−1,043² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

50·40³/12 + 2000·−25,04² = 1,521 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 228,9 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 228,9 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_abs = 66,62 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. En tres dimensiones la tensión cortante máxima absoluta es (σ_max − σ_min)/2 entre las tres tensiones principales; en tensión plana la tercera es nula.

Tensiones principales en el plano

C = 70 MPa, R = √(20² + (−60)²) = 63,25 MPa

σ₁ = 133,2 MPa, σ₂ = 6,754 MPa, σ_z = 0

El mayor de los tres círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(126,5, 133,2, 6,754)/2 = 66,62 MPa

Respuesta

τ_abs = 66,62 MPa

Aquí manda el círculo fuera del plano: el máximo absoluto es mayor que el máximo en el plano R.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 3,452

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = −40 MPa, R = 60,83 MPa

σ₁ = 20,83 MPa, σ₂ = −100,8 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 121,7 MPa

n = 420/121,7 = 3,452

Respuesta

n = 3,452

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_B = 8,041 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 22000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,462 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,004386 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8,041 mm

Respuesta

δ_B = 8,041 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 8,571 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·70000·11,11) = 8,571 × 10⁶ mm⁴

I_req = 8,571 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 8,571 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 37,85 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37,85 kN

Respuesta

P_cr = 37,85 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 39,04 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 39,04 mm

Respuesta

d = 39,04 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 153,7, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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