Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de aluminio, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 90 kNtramo 1: Ø40 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 1,5 m, aluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 75 kW a 1000 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 75 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

55 kN @ 8 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida sobre parte de su luz. Halla la distancia x₀ desde A hasta la sección donde el momento flector es máximo.

L = 8 mw = 6 kN/m de 4 a 6 m

x₀ = m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 120 mm × 240 mm tiene un agujero circular de diámetro 60 mm en su línea central vertical, con su centro a 72 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 240 mmd = 60 mmcentro del agujero: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 30 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −60 MPa, σᵧ = −10 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = −60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −40 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 355 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de Tresca (tensión cortante máxima).

σ_x = −30 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θ_A de la viga en el apoyo A, en radianes.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción R_B en el apoyo B.

L = 3 mw = 10 kN/m

R_B = kN

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (acero)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 3492 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 120·1000/490,9 = 244,5 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 244,5/70000 = 0,003492 = 3492 µε

Respuesta

ε = 3492 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 286,5 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 71,62 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 286,5 MPa

Respuesta

σ_max = 286,5 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 0,5603 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·613592) = 0,009778 rad

φ = 0,009778·180/π = 0,5603°

Respuesta

φ = 0,5603°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 49,42 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Momento polar de inercia

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 716197·25/362265 = 49,42 MPa

Respuesta

τ_max = 49,42 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 8 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 54,33 kN, R₂ = 72,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 96,67, M_C = 169,3, M_D = 218, M_E = 242,7 kN·m, M_F = 133,3, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = 242,7 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: x₀ = 4,75 m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·2·5

R_B = 60/8 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 7,5 = 4,5 kN

Cortante nulo

El cortante empieza en R_A, se mantiene constante en los tramos descargados y disminuye con pendiente w dentro de la carga.

R_A − w·(x₀ − 4) = 0

x₀ = 4 + 4,5/6 = 4,75 m

Respuesta

x₀ = 4,75 m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 130,4 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (28800·120 − 2827·72)/(28800 − 2827) = 125,2 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·240³/12 + 28800·−5,225² = 139 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−53,23² = 8,646 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 130,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 130,4 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 68,63 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

alma: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·187,5 + 1440·90)/5640 = 162,6 mm

Teorema de Steiner

ala: 280·15³/12 + 4200·(187,5 − 162,6)² = 2,681 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·180³/12 + 1440·(90 − 162,6)² = 1,148 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,681 × 10⁶ + 1,148 × 10⁷ = 1,416 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 195 − 162,6 = 32,39 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·32,39/1,416 × 10⁷ = 68,63 MPa

Respuesta

σ_superior = 68,63 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = −61 °

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −60 − −10) = −122°

Ángulo en el elemento

θ_p = −61°

Respuesta

θ_p = −61°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 5,427

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = −35 MPa, R = 30,41 MPa

σ₁ = −4,586 MPa, σ₂ = −65,41 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 65,41 MPa

n = 355/65,41 = 5,427

Respuesta

n = 5,427

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: θ_A = 0,005411 rad

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Giro en el extremo

θ_A = wL³/(24EI) = 15·2000³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,005411 rad

Respuesta

θ_A = 0,005411 rad

Eso son 0,31°.

12.Flecha de la viga

Respuesta: R_B = 11,25 kN

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·3/8 = 11,25 kN

Respuesta

R_B = 11,25 kN

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 23,39 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1500² = 23395 N = 23,39 kN

Respuesta

P_cr = 23,39 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 111 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Respuesta

σ_cr = 111 MPa

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