Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevos Volver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de aluminio (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 50 mm, E = 70 GPa). Ambos miden 300 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 200 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 200 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 120 kNtramo 1: Ø35 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco debe transmitir un par de 1000 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,7 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 40 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco debe transmitir 10 kW a 750 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,5 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 80 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

P = 10 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

10 kN @ 4 m4 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida sobre parte de su luz. Halla la distancia x₀ desde A hasta la sección donde el momento flector es máximo.

L = 6 mw = 6 kN/m de 3 a 5 m

x₀ = m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 150 mm × 240 mm tiene un recorte rectangular de 80 mm de ancho y 30 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 72 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 150 mmh = 240 mmrecorte: 80 × 30 mmcentro del agujero: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 80 MPa, σᵧ = 80 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −60 MPa, σᵧ = 110 MPa y τₓᵧ = −50 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 45° en sentido horario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θ_A de la viga en el apoyo A, en radianes.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 75 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/250. Halla el canto mínimo h_req de la sección.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 75 mm

h_req = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,09041 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5890 = 6,637 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 200000·300/6,637 × 10⁸ = 0,09041 mm

Respuesta

δ = 0,09041 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 8,128 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 124,7 MPa

σ₂ = 382 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 124,7·1500/117000 = 1,599 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 382·2000/117000 = 6,529 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,128 mm

Respuesta

δ = 8,128 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 55,13 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·40·0,7599)) = 55,13 mm

d_i = 0,7·55,13 = 38,59 mm

Respuesta

d_o = 55,13 mm

Un eje macizo necesitaría d = 50,31 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 20,52 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·127324/(π·80·0,9375)) = 20,52 mm

d_i = 0,5·20,52 = 10,26 mm

Respuesta

d_o = 20,52 mm

Un eje macizo necesitaría d = 20,09 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 8,667 kN, R₂ = 17,33 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 8,667, M_C = 17,33, M_D = 24, M_E = 26,67 kN·m, M_F = 15,33, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = 26,67 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: x₀ = 3,667 m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·2·4

R_B = 48/6 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 8 = 4 kN

Cortante nulo

El cortante empieza en R_A, se mantiene constante en los tramos descargados y disminuye con pendiente w dentro de la carga.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 4/6 = 3,667 m

Respuesta

x₀ = 3,667 m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 4,257 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

alma: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·105 + 1600·50)/4000 = 83 mm

Teorema de Steiner

ala: 240·10³/12 + 2400·(105 − 83)² = 1,182 × 10⁶ mm⁴

alma: 16·100³/12 + 1600·(50 − 83)² = 3,076 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,182 × 10⁶ + 3,076 × 10⁶ = 4,257 × 10⁶ mm⁴ = 4,257 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 4,257 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 166,7 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·120 − 2400·72)/(36000 − 2400) = 123,4 mm

Placa completa respecto a ȳ

150·240³/12 + 36000·−3,429² = 173,2 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

80·30³/12 + 2400·−51,43² = 6,528 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 166,7 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 166,7 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 10 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((80 − 80)/2)² + 10²) = 10 MPa

Respuesta

τ_max = 10 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = −85 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −−85·−1 + −50·0 = −85 MPa

Respuesta

τ_θ = −85 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: θ_A = 0,008455 rad

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Giro en el extremo

θ_A = wL³/(24EI) = 12·2500³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,008455 rad

Respuesta

θ_A = 0,008455 rad

Eso son 0,4844°.

12.Flecha de la viga

Respuesta: h_req = 136,7 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δ_allow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Momento de inercia necesario

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·12) = 1,598 × 10⁷ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = I_req → h = (12·1,598 × 10⁷/75)^1/3 = 136,7 mm

Respuesta

h_req = 136,7 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 255,9 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/1500² = 255879 N = 255,9 kN

Respuesta

P_cr = 255,9 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 35,25 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Respuesta

σ_cr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials