Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de latón (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 50 mm, E = 100 GPa). Ambos miden 400 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 150 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 150 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 85 kNtramo 1: Ø30 mm, 0,5 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 0,5 m, acero (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de latón de 60 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 2,5 m de A, actúa un par de 400 N·m, y en el extremo libre C, 3 m más allá, actúa un par de 750 N·m en el mismo sentido. Halla el valor del ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

d = 60 mmT_B = 400 N·mT_C = 750 N·mAB = 2,5 mBC = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Cortante y momento flectorMedia

La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M₀ = 15 kN·m en x = 2 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector M_x justo a la izquierda del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mM₀ = 15 kN·m en sentido horario, en 2 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mP = 40 kN en 3 mw = 10 kN/m de 0 a 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 120 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 97,5 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 120 mm de ancho y 22 mm de espesor, un canto total de 360 mm y un alma de 12 mm de espesor. Soporta un momento flector de 60 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión σ_j en la unión del alma con el ala superior.

B = 120 mmH = 360 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 150 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = 40 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 140 MPa, σᵧ = 120 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 25° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = 140 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 3,5 m de A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 20 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 200 GPa (acero)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 75 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/360. Halla el canto mínimo h_req de la sección.

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 75 mm

h_req = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,05059 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1,186 × 10⁹ N

Acortamiento

δ = 150000·400/1,186 × 10⁹ = 0,05059 mm

Respuesta

δ = 0,05059 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 751,6 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 120,3 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 751,6 MPa

Respuesta

σ_max = 751,6 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 10,77 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·3000/(26000·613592) = 0,188 rad

φ = 0,188·180/π = 10,77°

Respuesta

φ = 10,77°

4.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 5,918 °

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 400 = 1150 N·m

Torsión de cada tramo

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,15 × 10⁶·2500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,05794 rad

φ_BC = 750000·3000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,04534 rad

Torsión del extremo C

φ_C = 0,05794 + 0,04534 = 0,1033 rad → |φ_C| = 5,918°

Respuesta

φ_C = 5,918°

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = −3,75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.

Reacciones en los apoyos

Momentos respecto a A, antihorario positivo: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/8 = 1,875 kN (hacia arriba)

R_A = −R_B = −1,875 kN (hacia abajo)

Corte justo a la izquierda del par

La parte izquierda solo contiene R_A.

M_x = R_A·a = −1,875·2 = −3,75 kN·m

Respuesta

M_x = −3,75 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 150 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·3 + 10·8·4

R_B = 440/8 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 55 = 65 kN

Corta en x = 3 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 65·3 − 10·3·1,5 = 150 kN·m

Respuesta

M_x = 150 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (18000·75 − 706,9·97,5)/(18000 − 706,9) = 74,08 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·150³/12 + 18000·0,9197² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·23,42² = 0,4275 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 33,34 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_j = 51,93 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 360 − 2·22 = 316 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·360³ − 108·316³)/12

I_x = 1,826 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 180 − 22 = 158 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·158/1,826 × 10⁸ = 51,93 MPa

Respuesta

σ_j = 51,93 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = −34,57 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = 40/112,4 = 0,356, sin 2θ_s = −105/112,4 = −0,9345

2θ_s = atan2(−105, 40) = −69,15°

Ángulo en el elemento

θ_s = −34,57°

comprobación: θ_s − θ_p = −34,57 − 10,43 = −45°

Respuesta

θ_s = −34,57°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 159,4 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = 130 + 10·0,6428 + 30·0,766 = 159,4 MPa

Respuesta

σ_θ = 159,4 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 39,7 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 20000 N, a = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa³/(3EI) = 20000·3500³/(3·7,2 × 10¹²) = 39,7 mm

Respuesta

δ_P = 39,7 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: h_req = 294,6 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inercia necesario

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,598 × 10⁸ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = I_req → h = (12·1,598 × 10⁸/75)^1/3 = 294,6 mm

Respuesta

h_req = 294,6 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 4,935 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/4000² = 4935 N = 4,935 kN

Respuesta

P_cr = 4,935 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 24,87 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Respuesta

σ_cr = 24,87 MPa

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